【精品】浅谈幻方

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1、摘要多少世纪来人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣。从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。在古代亚洲的城帀，人们在考古挖掘中发现了它们。有关幻方的最早记录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”。传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，出一组排放在正方形屮的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用,以此来一部加深对幻方的理

2、解。关键词：幻方历史幻方应用第一章引言我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到四方。由于纵横图具冇十分奇幻的特性,西方把纵横图叫作MagicSquare,翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，1仕冃在于解在可行排列空间屮所山的比例随阶数指数递减。此外，在文章最后，简单介绍了幻方在数学和智力开发，科学以及艺术中的应用。我们从多个角度去探寻幻方

3、的历史，发展和在现实生活屮的应用，以此来一部加深对幻方的理解。第二章幻方的历史和发展关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井冇条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎岀了八卦，后來大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。大约在8世纪，中国的幻方记述传人阿拉伯地区。该地区的人们对幻方产生了极大兴趣，并做出重耍贡献。塔比伊本•库拉较早研究了幻方。约990年，一批阿拉伯学者编的木百科全

4、书中可找到3,4,5,6阶幻方，并说明7,8,9阶幻方的存在。幻方1315年前后传人西方后，最初被赋予一种神秘性或作为护身符，成为神秘哲学的一部分，或是在一些场合屮作为有趣的数学游戏。但当时并未引起人们的深思和研究。在屮国，宋朝杨辉的《续古摘奇算法》辑录了更高阶的幻方（至10阶），他最早从数学角度研究了洛书的构造法以及其他6种变形幻方。它们同样具有某些组合性质。扬辉还构造出出9个洛书勾成的大幻方，如果洛书中的第I列第J行数记为h杨辉之后易东、程大位、王文素，清朝方屮適、张潮、保其寿对幻方及变形幻方有深入的研究。形式也趋于多样化。除了这些以外，历史上最早的

5、四阶幻方是在印度发现的，那是一个完全幻方，而但比中国的杨辉还要早了两百多年,卬度人认为那是天神的手笔。直到中世纪后.欧洲的一些数学著作中才开始出现讨论幻方及其改造的内容，如卡尔丹诺给出了分别以FI、月和五星为名的幻方及构造法。7世纪.日木对幻方也产生很浓的兴趣一主要是关孝和对幻方和幻圆理论的研究。现在的幻方种类很多，如一般幻方，对称幻方，同心幻方，完美幻方。平面幻方（二维），幻立方（三维），多维幻方。平方幻方，立方幻方，高次幻方，高次多维幻方。魔鬼幻方，马步幻方，多重幻方，六角幻方，双料幻方，幻环，幻圆等等。特殊的幻方有反幻方，完美反幻方。第三章幻方问题

6、与研究幻方问题是具冇悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而H在于解在可行排列空间屮所占的比例随阶数指数递减。在以前，人们只能靠手算得到一些较低阶的幻方。河图、洛书不过是两个简单的四阶幻方，古人也将其视为上天蜴予的神物。然而幻方的许多性质，从低价幻方中总是很难发现。Kraitchik在1942年分别给出奇数阶与偶数阶幻方的确定构造方法，但却不能构造任意随机幻方，更不能构造有附加条件或二次以上的幻方.在幻方研究屮常常需要构造具有附加条件的特殊幻方，如泛幻方(panmagicsquare)＞嵌套幻方(父子幻方)、庆典幻

7、方等，每一个成功的特殊幻方的直接构造都是一次人类心智与毅力的艰苦磨砺，有时虽耗费一生光阴也一无所得。新的研究理论提出半幻方通过行置换与列置换口J实现对角线数字幻和满足的分步构造猜想的基础上，提出基于演化策略的分步自适应幻方演化算法.变界操作包括元素对置换、整行置换、整列置换；启发式局部调整操作包括行列局部调整与对角局部调整等。计算表明,分步构造猜想至少在所完成的幻方构造计算实例上是成立的，幻方分步演化算法具有较高的计算效率。虽然幻方分步构造猜想冇待证明，但数值实验结果表明，建立在该猜想条件下的随机幻方演化算法表现出极限成功率，即每次幻方演化过程都能得到不

8、同的随机幻方，而且演化算法具有较高的构造效率。幻方演化算法属于随机构造法，不同于