【精品】胡永攀论文

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1、证明极限不存在的若干个方法呼永攀摘要极限是数学分析的重要概念之一，是研究函数的重要工具.数学分析中许多主要概念（如导数、积分）都是用极限方法来研究的，因此，学好极限内容就等于给数学分析这门课程打下了良好的基础.资料显示，极限内容主要讨论的是如何判断极限的存在和求值问题，对判断极限不存在的方法涉及很少.本文分别对极限定义的否定式、子列性质、左右极限、无穷大量等相关定义、定理加以分析、研究，总结出一套证明极限不存在的方法.这对极限概念的理解和加强以及对极限方法的掌握起了很大的帮助作用.关键词极限定义的否定式子列左右极限无穷大量柯西收敛原理的否定海涅定理的否定极限定义是极限知识体

2、系的基础，本文将从极限定义的否定式出发來研究极限不存在的各种方法.1・用极限定义的否定式以数列极限为例，我们给出严格的极限定义.设是一给定数列，金是一个实常数•如果对于任意给定的e>0,可以找到正整数聘，使得当时，成立IwT"则称数列⑷收敛于：（或二是数列W的极限）.linix.=

3、实常数.若存在一个正数岭，对任何自然数"，总存在-个片，当斗>"时，有"年岭，则称数列⑷发散（或之不是数列｛号｝的极限）.符号表达法为lim%"—3^>0.VM3n>忒有氐-伞吊我们口J以川极限定义的否定式的符号表达法，來证明数列发散.例1证明数列卜叽发散.证明3'=I,分两种情况，冇当“0时严W町火倚«)>"1广一a卜

4、—I—a

5、=1+aN耳9华<0时严w召珂値裁)有卜1广-彳=卜彳=i+(T：>吊(卜训即数列'1发散.发散.■卜『证明数列L证明3,以下分两种情况W工0时，站e%丸俺®；)>M有卜厅島*1需*°H当O"吋，城玉删ft)>M有所以：不是数列的极限,2•用子列

6、的性质为了讨论数列的敛散性，我们经常用到子列.子列的概念：设Z是一个数列，而码5<…是一列严格单调增加的正整数，则'■•G…也形成-个数列，称为数列g的子列，记为子列与原数列具有密切关系，即“若数列收敛于二，则它的任何子列™也收敛于立.”这个结论的等价仪述是：若数列｛斗｝有一个了列发散，或有某两个收敛了列，它们极限不相等.则称数列｛石必发散.也就是说我们在证明数列发散时，只要能找出一个了列发散，或者找到某两个了列极限不相等的子列即可.这样我们可以把整体问题转化为局部问题，应用起來特别简单.例1的敛散性.则得到两个子列其小4hrlunXm=limsm―—=limujt>r=O

7、tim=甕2直11.促上：2〉"=豊殳曲11（2上十£）=I即两个了列{^Ub)的极限不等,Lin^l故I发散.■L例2判断数列1屹他呦的敛散性.解记“顽顽，因为刚X,所以“耐丽厂乔呵取牡"°*€**,从而lg{lg^O>k+lgk3.左右极限法以函数极限为例，在函数极限I，的定义屮，自变量工可以按任意的方式趋于匸（只要.但有的吋候，只在壬的-•侧（左侧或右侧）有定义，或者需要分别研究在工:两侧的状态.求分段函数在“分点”处的极限就是函数极限屮利用此方法求解的最重要的一类题型.单侧极限和双侧极限的关系定理：函数才®在壬极限存在的充要条件是在三的Iuh/（jO=虫Qlim/

8、（x）=link/W=A左极限和右极限存在并相等.即f由此得知，只要有一个单侧极限不存在，或者两个单侧极限存在但不相等，我们就可得出分段函数在“分点”处极限不存在的结论.JT/W=0x<0x=0x>0已知函数求护解时卄屛沖即炉3咱沟所以53"）不存在/rC8JTZW=-求函数x>—2JT在*一2处的极限._JT_JF即/⑴在*2处的右侧极限不存在.所以才⑴在可2处的极限不存在.4.无穷大量按数列收敛定义，｛刃‘冋附叫等数列都是发散的，但是它们与W的发散有一个根本区别，即当可增大时，其各类的绝对值也无限制的增大.这样的数列我们称为无穷人量.其严格的分析定义可表述为：若对于任意

9、给定的Ga°,可以找到正整数“使得当Q%,成立X卜°则称数列g是无穷大量.记为辄心"lim斗=80弋N.有

10、耳卜(7用符号表示法f•因此，我们只要证出-•个数列是无穷人量，就可以说这个数列是发散的，这样用起來非常方便.例」明数列咕寸"知是发散的.证明VGM),取叫於］,当3"成立lim所以**即数列b+l血+2石｝是发散的.例2设辄"FW定义证明*X-证明设辄％=则V0>oV*i>0对固定的城网沁叩“"成立于是"Ftl]+■■■+tlj^M耳4哥+・・・+%二吆乂+叫乜+・・・■!■%XM士—22恤込土土1二柚所以