关于函数f(x)=的理解和运用

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1、的理解和运用关于函数f(x)二%+—(dH0)X高中数学的函数部分是学生学习的一个难点，概念部分有函数的定义，反函数，定义域，值域及解析式•性质部分有单调性，奇偶性及周期性•学生学习过的常见的初等函数有一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，正弦函数，余弦函数，正切函数等•事实上,我们在学习的过程中往往遇到形如f（x）=x+?的函数，下面就来讨论一X下该形式函数的理解和运用.一：定义域{X

2、x^R且xHO}二：奇偶性显然，其定义域关于原点对称，又f（-x）=-x--=—（x+-）=—f（x）因兀兀此该函数为奇函数，这是相对准确作出图象的重要依据.三：单调性⑴当

3、a>0时,函数在（-°°,~4a）和（4ay+°°）_h为增函数，在（~Va,0）和（0,丽）上为减函数首先用定义证明之:设Xxa,即x2_a>0①召x2>0②%,-x2<0③由①②③知f（X［）-f（兀2）〈0U卩f（兀［）〈f（兀2）故函数在（-°°,-石）上为增函数.同理可证函数在（石，+8）上为增函数,在（-屁0）和（0,Q上为减函数.现在再用求导的方法来判断其单调性：•••/（劝=1-二令fM=0得x=V^或x二-罷,当xW（-8,-罷）和JT（Va,+co）时f（兀

4、）>0,・••函数在（-8,-石）和（石，+8）上为增函数,当xW（-需，0）和（0,石）时fx）<0,/.函数在（-Va,0）和（0,yfa）首先用定义证明Z：设x.

5、）—f（禺）二（兀

6、+纟）一（禺+Z）二（兀

7、一禺）+（纟一纟）二（兀

8、一禺）+a―—若「兀2「XX2〜XlX2二（坷—匕）空口•・•西兀2>°-a>0空口>0……①又〜x{x2x}x2西-兀2〈0②由①②知f（再）-f（兀2）〈0R卩f（州）〈f（兀2）故函数在0）上为增函数.同理可证函数在（0,+8）上为增函数，现在再用求导的方法來判断其单调性：V•・・-a>o・••当xW(-8,

9、0)和(0,+8)时均有Xf(兀)>0故,函数在(-8,0)和(0,+OO)上均为增函数其实此时函数用复合函数判断其单调性是最为快捷的，因为a<0,而丄为减，故纟为增，又X为增，所以f(x)n+纟*(-00,0)和(0,+8)XXX上为均为增函数其图彖如图2所不：四：最值或值域问题当a>0时，求该函数的最值和值域问题常和均值不等式联系在一起，但是需要注意的问题有两个，第一，要看X的符号，当x〉0时有X+纟M2需，则函数有最小值X2罷，,当x<0吋,有-x-纟22罷/.x+—W-2石，则函数有最xX人值-2丽第二，要看x的取值范围例1：已知函数y二x+丄(x$2),求函数的

10、最小值分析：若按X+丄$2而确定最小值为2就会产生错误，因为没有注意到等号成立的条件，事实上，当且仅当X=1时等号才成立，而1并不在定义域内，这是一个学生常犯的错误.正解：•.•函数尸X+丄(x$2)在［2,+X)是单调递增的，.•.函数y二x+丄(x$2)的最小值为y二2+丄二仝当且紧当x=2时y取最小值.x22例2:已知函数y二x+2(x$2),求函数的最小值分析•函数y二x+-(x±2)在［3,+8)是单调递增的，在［2,X3］上是递减的・•・函数y=x+-(x$2)的最小值为y二3+?二6,或用均x3值不等式X+-^279=6也可.例3:已知函数y二x+?(xW-

11、4),求函数的值域分析：若用-X--^2X3=6,则y二x+?W-6得值域(-°°,-6］则又XX是错関‘I勺正解：•・•函数y二x+-(xW-4)在(-8,-4］上是单调递增的，・•・X函数y=x+-(xW-4)的值为yw(-8,］X4例4：求函数y二sinx+二—xW(O,龙)的值域sinx分析:虽然sinx>0,但此处同样不能按sinx+亠一上2血确定值域sinx为［2V2,+8),因为sinx#V2,即不具备等号成立的条件，这是必需注意的地方.正解：TsinxG(0,1］令sinx=t贝ljy=t+-te(0,1］t・••由于函数在(0,血］上单调递减得yG［3,

12、+s)综上所述，对于函数f(x)=”纟QH0)有关问题的处理,首先必x须分析a.的符号，以确定函数图象的大方向，才能处理好其单调性.然后要看清自变量x的取值范围，以准确判断其值域.