高中数学复习指导：直线与圆锥曲线问题之设而不求与设而求

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1、“设而不求”与“设而求”一般地，我们解答直线与圆锥曲线问题，已经形成一种习惯，利用一元二次方程的判别式研究范围，利用根与系数的关系研究有关参数的关系，还美其名曰“设而不求”，事实上，“设而求”也可能比“设而不求”更加简单，避开了一元二次方程的判别式与根与系数的关系研究有关参数的关系，也许另有一种更好的解法等待着你去探究，不信请看下面的例题：丫2例1、己知椭圆方程为y+/=l,过定点P(0,2)的直线交椭圆于不同的两点A、B(在A、P之间)，且满足西=2顾，求的取值范围.解析1：设AB的方程为)=尬+2,A3」)，Ba，%)，贝9召=2坷，y2-2=A(yl-2).PA

2、=(x},y}-2),PB=(x2,y2-2),由PB=ZPA,得X213由Q+*'得(1+2比2)严+池+6二0.又△二64疋一24(1+2/)=0>0,得k2>~.y=kx+2,Sk6由根与系数关系，坷+禺=一，=-1+2F-1+2亡把七=2西代入坷+召=_]+2加有西(1+2)=_]+朮，(1)606把x2=^代入“2=仃乔有彷=匚乔，(2)由(1)、(2)可以消去西得到含有入比的关系式，这个过程比较复杂，这个关系式是32k2(1+A)2313(1+2/)2八3_―=—■—,或者变为__+?7=—石刁—=—，由*>二，可以求得3(1+2QA32k「1632k~(

3、1+久)「2初于是建立了关于2的不等式'2v£,又0vQvl,解得£v2vl.32kIoo(1+a)o3当初没有斜率时，宀亍所以扫＜「解析2：构造2+]=玉+玉=(召+兀T,如此可以直接把年+召=一£「/x}x2x}x2l+2k32k161ao&23也=砲代入得到'+君茹莎r"込百-2,由解法1知：宀亍可以求得2＜丐＜罟,又061,解得打＜1•当仙殳有斜率时，4,所以押＜1.冷=岔，y2-2=/l(yl-2).解析3：设人(西,刃),8也,％)，则力4=(兀[,刃一2),PB=(x2,>2-2),由PB=APA,得v4+^=i,2O1又人(召,刃)，3(%,%)在二+

4、b=l上，所以]22-+^=1.〔2-事实上仅用以上这四个等式就可以求出2与西,必,兀2，%中任意一个的关系.j吕+*=1,⑴F字+(勿_2q+2)2=[.(2)(l)xA2_(2)得：(Ay.)2-(心-22+2)2=/一1,(22-2)(22^-2A+2)=-1,注意到0<2<1,所以4仇开一2+1)=2+1,解得气J)_3斥彳一31”=—,注意到—1S)[S1，所以—is—<1,解得一5/153,又0V/lvl,14A1423所以-<2<1.3解法评价：解法1与解法2都是利用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，是解析几何常用的方法，但是用这种方法必须对直线方

5、程进行讨论，还应注意，有些时候仅仅使用其中的根与系数的关系而没有用根的判别式,但是由于根与系数的关系是从整体上建立有关系数的关系的，所以无法保证实数根的存在性，因此一定要检验判别式大于零.解法3全面利用向量共线所得到两个关系式（横坐标与纵坐标的关系都利用了，而解法1、2实际上只用了横坐标的关系）,通过巧妙的解方程，最终把2看成常数，刃看成未知数，用久表示刃，进一步利用）｝的范围限定2的范围.对于这个题目来说，解法3优于解法1、2,因为这种解法避开了分类讨论（这是共线向量的作用），避开了根的判别式（另用了变量的范围，范围，也是圆锥曲线中建立不等式的常用方法，在变量易用参

6、数关系表示的情况下比用判别式简单）•解法3虽然没有用整体思想（这里指解法1、2中对西+甩与丙吃的整体代入变形），但是计算量并不大，比解法1、2还要小，而且由于没有新的参数比，使得字母较少，变形的目标更加明确•因此我们解答直线与圆锥曲线的问题时，不要过分依赖一元二次方程根的判別式与根与系数的关系，当解方程组比较简单时，不妨直接求岀有关未知数的解，然后利用未知数的取值范I韦I建立不等式.例2、如图1,已知椭圆长轴端点为A、B,眩EF与AB交于点D,原点0为椭圆中心，且OD=1,2DE+DF=0,乙FDO==.求椭圆长轴长的取值范围.422解：设椭圆方程为刍+与=1（d>b

7、>0）,设由2旋+丽=0得:a22222（召+1,必）+（左+1,%）二（0,0）,即2xj+勺+3=0,2必+%=0,又屯+仝=1,二+与=1.crZrlr联立四个等式先消去尼,％有：（2%弓3）+彗二］,再联立斗+艺二1消去刃可以解得crtra"tr=~a~3.又因为-a

8、（/一］）2去分母整理得:€/4-6（22+5＜0,解得1