高二数学北师大版必修5学案：322一元二次不等式的应用含解析

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1、2.2一元二次不等式的应用【明目标、知重点】1.掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法2会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题.填要点•记疑点1.分式不等式2.解分式、高次不等式(穿针引线法)(1)将不等式化为标准形式；一端为0,另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积.(2)求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出.(3)自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(说明：奇过偶不过).(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集.探要点•究所然［情境导学］上一节我们学习

2、了一元二次不等式的解法，理解了三个“二次”间的对应关系，那么它们有哪些应用？这是本节我们要研究的主要内容.探究点一三个“二次”间对应关系的应用例1加为何值时，方稈x1+(m~3)x+m=0有实数解？解方程x2+(m—3)x+m=0有实数解，等价于A=(m—3)2—4w0,即w2—10w—9^0.这是关于加的一元二次不等式，按求解程序，可得这个不等式的解集为1或加29}・所以，当加W1或心时，原方程有实数解.反思与感悟一元二次不等式与一元二次方程是既有区别但又是相互联系的，它们都统一在一元二次函数这个整体中，所以讨论一元二次方程的实数解问题，一定要注重联系一元二次函数与一元

3、二次不等式.跟踪训练1关于X的一元二次方程kx2+(k~)x+k=0有两个正实数根，求实数£的取值范围.解方法一设f(x)=kx2+(k~!>+/:,由题意,2=佻一1)2—4冷0L—I则k满足]—丁>0，』(0)斗>0'3&+2A—1W0即l(k~)k<0,解得04吕../c>0X+兀2>0方法二设x,x2为方程kx1+(k~)x+k=0的两个正实数根，则<兀1也>0[-¥>0即細山=仇_1)2_4疋上0解得亍探究点二分式不等式的解法思考1求解形如侠>0的分式不等式，能否利用解分式方程的方法去分母呢？为什么？应该怎样解？答--般不能采収去分母的方法，因为不清楚

4、分母/?(x)是否大于0,如果能判断出〃(x)大于0或者小于0,完全可以采取去分母的方法.一般解法是移项、通分化成标准型哄>0(<0)或供g(x)g(x)$0(W0),再等价成整式不等式来解.思考2形如鲁°’黔的分式不等式’等价变形成怎样的整式不等/(x)・g(x)W0,g(x)H0・式？答分别等价变形为Ax)-g(x)>0；Av)-g(x)<0；*；)｛：)鼻°'例2解下列不等式.x+15x+1(IRO；(2)药亍3.y+1解(1)按商的符号法则，不等式二$0可转化成不等式(x+l)(x—3)20,但xH3・解这个不等式，可得xW—1或x>3.即知原不等式的解集为{xl

5、xW—1或x>3}.(2)不等式5x+lx+1<3可改写为5x+lx+1-3<0(不等式的右边为0),2(xT)兀+1<0仿(1),可将这个不等式转化成2(x-l)(x+l)<0,解得一1

6、—2

7、・・原不等式的解集为Xx<

8、或探究点三简单高次不等式的解法例3解不等式：(x—l)(x—2)(兀一3)>0.思考1不等式对应的函数为/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)的图像与x轴有几个交点？交点把兀轴分成儿个区间？答由(x-l)(x-2)(x-3)=0,得交点坐标为(1,0),(2,0),(3,0)；分成的区间为(一8,1),(1,2),(2,3),(3,+8).思考2在思考1中的各个区I'可内，函数值的符号是怎样的？有什么变化规律？答当兀丘(3,+8)时，即Q3时，由于三个因式(X—1),(兀一2),(X—3)都是正数，所以.心)>0；在区间(2,3)上，因式(x

9、-l)>0,(x-2)>0,(x-3)<0,所以_/(x)<0.同理可知其他区间函数值的符号.又函数./U)的图像是一条不间断的曲线，所以.几工)的符号每顺次经过兀轴的一个交点就会发生一次变化.思考3如何形象的把函数值的符号变化的规律表示出来?思考4通过以上的思考，你能写出不等式的解集吗?答不等式的解集为(1,2)U(3,+-).反思与感悟上述解不等式的方法可以形象的说成是穿针引线法.解简单的高次不等式时要特别注意偶次方根要“穿而不过”，也就是要“反弹”起来，遵循“奇穿偶回”的原则.跟踪训练3解不等式：(l)x(x—1)2(兀