置换在对称变换群中的应用

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1、例3例4§1.7置换在对称变换群中的应用一、对称变换群的定义定义1.7.1---对称变换例1例2二、实例一、对称变换群的定义定义1.7.1使图形不变形地变到与自身重合的变换称为这个图形的对称变换(symmetrictransfor-一个图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群,这个群称为这个图形的对称变换群.一个图形的对称变换群常可以用一个置换群来表示,它能很好地反映图形的对称性质,是研究图形的对称性质的有力工具.mation).二、对称变换群的实例例1求正方形的对称变换群.由图1.7.1不难看出,正方形的对称变换只有两种:(1)分别绕

2、中心点按逆时针方向旋转、、、的旋转;(2)关于直线、、、的镜面反射.为了用置换来表示正方形的对称变换,我们用数字1、2、3、4来代表正方形的四个顶点(如图1.7.1).显然,正方形的每一个对称变换都导致了这四个顶点的一个置换.如果对称变换将顶点变为顶点,那么我们用置换来表示这个对称变换.易知,由正方形的每一个对称变换,都可惟一地确定一个4阶置换,且不同的对称变换对应了不同的置换.所以,正方形的每一个对称变换,都可用惟一的一个四阶置换来表示.表1.7.1列出了正方形的对称变换及其相应的置由表1.7.1可知,两个对称变换的乘积对应于相应的

3、置换的乘积.所以正方形的对称变换群是的一个子群,记作.由表1.7.1可知.换表示点击看表对称变换置换表示表示绕中心旋转表示绕中心旋转表示绕中心旋转表示绕中心旋转（恒等变换）表示关于的反射表示关于的反射表示关于的反射表示关于的反射表1.7.1一般地,正边形的对称变换群是的一个子群,记作,称为二面体群.易知,正边形有个旋转(包括恒等变换)和个反射,所以,二面体群的阶数是.例2求正四面体的对称变换群.一个正四面体可以内接于一个正方体(见图1.7.2).把正四面体的四个顶点标上1、2、3、4四个数字,则正四面体的每一个对称变换都可用一个4阶置

4、换来表示.的对称变换.如镜面反射就不是正四面体的对称因此,正四面体的对称变换群是的一个子群.共有24个4阶置换,但并非每一个置换都表示正四面体变换.容易看出,绕任一条过正四面体的一个顶点及其对面中心的轴按逆时针方向旋转,的旋转是正四面体的对称变换,这样的变换有个.另一方面,绕任一条过正方体的对面中心的轴旋转的旋转也是正四面体的对称变换,这样的变换有3个.再加上恒等变换,共12个对称变换.所以,正四面体至少有12个对称变换,且这些变换都是旋转.又因为镜面反射不是正四面体的对称变换,所以镜面反射与上述12个旋转的乘积也都不是正四面体的对称

5、变换.由此可知,上述12个旋转恰是正四面体的全部对称变换.这12个对称变换用轮换的形因此,正四面体的对称变换群就是4次交代群.设是数域上的一个元多项式.如果集合的一个置换保持多项式不变,则称这个置换为多项式的一个对称变换.易知,多项式的全体对称变换关于变换的合成构成的一个子群,这个群称为多项式的对称变换群.例3设是数域上的一个元多项式.则多项式的对称变换群等于的充分必要条件是是元对称多项式.例4试求多项式的对称变换群.解我们用置换表示将变到的变换.易知,多项式的任一置换最多只能将与或与互换.所以,多项式的对称变换群是由与生成的群,即.

6、从而,的对称变换群为参考文献及阅读材料[1]张奠宙等编,科学家大辞典,上海:上海辞书出版社;上海科技教育出版社.2000