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1、第6课时函数的极值与导数一、知识要点填空1.,我们把点a叫做函数y=/(%)的极小值点J⑷叫函数y=/(x)的极小值.2.,我们把点h叫做函数y=/(劝的极大值点,/3)叫做函数y=/(x)的极大值.请注意以下几点：(i)极值是一个局部概念•由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小•并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(ii)函数的极值不是唯一的•即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(iii)极大值与极小值之间无确定的大小关系•即一个函数的极大值未必大于
2、极小值，如下图所示，西是极大值点,勺是极小值点，而/(%4)>.广(兀
3、)(iv)函数的极值点一定出现在区I'可的内部，区间的端点不能成为极值点•而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点3、判别/(心)是极大、极小值的方法：(1)极大值与导数之间的关系XX1左侧X
4、Xi右侧f'(x)f'(x)0f'(x)0f'(x)0f(x)极大值f(x,)⑵极小值与导数之间的关系Xx2左侧X2X2右侧f'(x)f'(x)0f(x)0f'(x)0f(x)极小值f(x2)4求可导函数/U)的极值的步
5、骤：(1)⑵⑶二、典型实例探究例1求尸*j+g的极值例2求y=(x2-l)3+l的极值.解：求导可得k=3(x2-l)2-(x2-l)‘=6x(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)令y，>0pJf®x>0,yz<0pJJ®x<0函数在(-8,0)单调递减，在(0,+8〉单调递増.函数在沪0处取得极值y=0例3:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处有极值，且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:已知£(x)W+c,所以N(x)=5ax^~3bx^=x^(5ax^-3b)・根据题意”(x)
6、=0应有根x=±l,故5a=3b.所以亡(x)=5ax2(X2-1)・因a>0时，列表：X(-1)-1(-H1)1(1>-00)广a)一:—0-T心)极大值4极小值由上表可见岸二—出+冒L0=f(l)=a-b+c.②①+②得严2,①-②得b=a+2.又5a=3b,所以23,b=5,c=2.同理：d<0时可求得d=-3,b=-5,c=2例4(2009浙江文)己知函数/(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,beR).(I)若函数/(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求的值；(II)若
7、函数/(兀)在区间(-1,1)±不单调，求Q的取值范圉.•••解析(I)由题意得fx)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)解得b=0fa=—3或a=1/(0)=/?=0厂(0)=-a(a+2)=—3(II)函数/(x)在区间(-1,1)不单调，等价于导函数(兀)在(-1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数广(兀)在(-1,1)±存在零点，若只有一个零点，根据零点存在定理，有厂(一1)厂(l)v0,即：[3+2(1—°)—a(d+2)][3—2(1—a)—q(g+2)]v0整理得：(a+
8、5)(。+1)(0—1)2v0,m-50J]A>0,b1若有两个零点，则有-4<—V1解之得，・lVdVl,dH-一。2ct2强化练习:例5:设臼$0,f(x)二x—1—x+2aInx(x>0).(I)令F(x)=xf/(%),讨论F5在(0.+<-)内的单调性并求极值;(II)求证：当x>时，恒有x>v^x—2aInx+l.(【)解：根据求导法则有八兀)=1一如+竺，兀>o,XX故F(x)=xfx)=x-2Inx+2«,x>0，于是F'(x)=]_?=兀_2,%>0，XX列表如下：
9、X(0,2)2(2,+呵F3—0+F(x)II极小值F(2)1故知F(Q在(0,2)内是减函数，在(2,4-00)内是增函数，所以，在X=2处取得极小值F(2)=2-2ln2+2a.(II)证明：由a$0知,F(x)的极小值F(2)=2-21n2+2d>0・于是由上表知，对一切XG(0,+°°),恒有F(x)=xfx)>0-从而当X〉0时，恒有fx)>0,故/(X)在(0,+8)内单调增加.所以当x>l时，f(x)>/(I)=0,即x-l-ln2x+2«lnx>0.(利用单调性证明不等式)4B•极大值为
10、0,极小值为一274d•极小值为a极大值为_——27D.5A.6B.0C.5D.16、•设函数/(x)=(ax)3-(cue)2-cix-a在x=l处取得极大值，则a二7.、已知函数/(兀)=%3+3a?+3(a+2)兀+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是8.、已知兀=1是函数/(x)=mx3-3(m+l)x2+/U+1的一极值点，其中m,ngR,mH0(1)求加与斤的关系表达式(2)求/(x)的单调区
