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1、Chi、引论§1、数值分析及其特点1、数值分析及其主要内容数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括：(1)数值逼近一插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等(Ch2〜Ch3)；(2)数值积分与微分(Ch4)；(3)数值代数一求解方程(组)以及特征问题的数值方法(Ch6~Ch9)；(4)常微分方程的数值解法(Ch5)02、数值分析的特点(1)首先耍有对靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性；(2)其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足粘•度；(见例3)(3)还要考虑算法的运行效率，即算
2、法的计算量与存储量。例如Cooley和Tukcyl965年提出FFT,N2/2Nlog；,N=32K,1000倍。例1、分析用Cramer法则解一个n阶线性方程组的计算量。解：计算机的计算暈主要取决于乘除法的次数。用Cramer法则解一个n阶线性方程纟II需计算兀+1个“阶行列式，而用定义计算n阶行列式需加⑺―1)次乘法，故总计共需a+i)/®—i)=s+i)!(斤—1)。此外，还需〃次除法。当n=20时，计算量约为(z?+l)!(n-l)=9.7xlO20次乘法。即使用每秒TH乙次乘法的计算机，也需计算3000多年才能完成。可见，Cra
3、mer法则仅仅是理论上的，不是而向计算机的。§2、数值分析中的误差1、误差的类型与来源(1)模型误差;(2)观测误差;(3)截断误差(方法误差)一模型的准确解与数值方法准确解Z间的误差；(4)舍入误差一实数形式的原始数据与有限字长的计算机数据Z间的误差。数值分析主耍研究截断误差与舍入误差。Y2兀“例2、根据Taylor展式护=1+x+——+•••+——+尺,(x)计算「(误差小于0.01)。2!n=x-x为T的（绝对）误差,乞=兀_兀用某种方法确定的谋差的某个上界/称为T的误差限，显然x-Z，即T称为/的相对误差限。X-s＜X＜X+g,
4、£=8nk=Jt=l0（旺，兀2,…兀“）jt=lSfdxk€；,耐)彩£k=df%£（心）。解：宀2）+呼+卑+呼+爭+“）u丄一丄+——-（截断误差）«0.3667（舍入课差）。26241202、误差的基本概念（1）误差与误差限设兀为某量的精确值，T为兀的一个近似值，则称ex为T的相对误差。误差限取决丁•测量工具和计算方法。（2）函数值的计算课差设A=/（xi,x2,---,xJ,兀;,X：,…，兀:为兀]，兀2,…，兀“的近似值,则&"）="一A=n兀:,X：,…,兀；）一/（坷,兀2,…,£）（尢；一兀J+R（兀;，X；，
5、…X：）（多元函数一阶Taylor展式）§3、算法的数值稳定性与病态问题1、算法的数值稳定性例3、计算仁={-—dx⑺=0,1,2・・・,6）,并做误差分析。mx+5二广®[5严心_5.-=lnr01823=/-/=0.1823算法1：1,结果见卜-表。/”=—5/心+—n乂乞6＜丄＜匸，一＜—L_-兀+5-56(n+1)-"-5(〃+1)12(6x75x7丿=0.02619=/on算法1算法2准确值00.18230.18230」82310.08850.08840.088420.05750.05800.058030.04580.04310
6、.043140.02080.03440.034350.09580.02810.02856-0.31250.02620.0243结果见下表。算法2：/；=0.02619厂M-1；1w-l_Z误差分析:算法1：En=I--5C5=5ln-}~In…=5〃/0-/0=5”E°,即在计算过程中谋差放人了5"倍。1即误差缩小了5”倍。定义1：若某算法受初始误差或计算过程中产牛的舍入误差的影响较小，则称Z是数值稳定的，反之称为不稳定算法。2、病态问题例4、将方程p（jc）=（x—1）0—2）・・・（兀一20）=0,即x20-210x19+•••+20
7、!=0改为摄动方程兀2°—（210+£）十9+・・・+20!=0,即p（x）-£x19=0,其中e=2-23«10"7□Wilkinson用精密方法计算出其根为:1.0000,…,6.0000,6.9997,8.0073,8.9173,10.0953±0.6435Z,…，19.5024±1.9403/,20.8469。时,显然警令卩（兀,刃二兀2。_（2io+刃兀19+...+20!,其根为兀（£）,「=1,2,…彳。，则当wtO反映了初始数据的微小摄动对兀•（£）的影响程度即问题的0条件数。dr（e）因"（£（£）,£）三0,故一^（1
8、8_兀;_严寻n/n（z—j）□力口（兀_丿）k=d兀@)deIO-3810410〜19106〜IO?20107（坏条件问题）6IO1定义2：若初始数据的微小谋差都会对最终的计算结果产生极人
