第2讲_数学物理方程的分类和行波法

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1、第一讲内容回顾：数理方程建立的步骤确定物理量:速度、位移、…研究邻近点的相互作用（抓主要矛盾，忽略次要矛盾）短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响将这种影响用数学关系式表达出来，并简化整理→数学物理方程HarbinEngineeringUniversity三类方程：反映波动过程的波动方程反映扩散过程的热传导方程反映稳定状态的Poisson方程和Laplace方程HarbinEngineeringUniversity定解条件：初始条件：初始条件的个数：等于于方程中关于时间偏导数的阶数。必须给出全系统的初始状态，而不是系统中个别点的初始状态。三类边界条件：边界条件的个数

2、：等于方程中关于空间变量偏导数的阶数。只需给出恰当说明边界上的物理状况即可，而非整个系统HarbinEngineeringUniversity练习：HarbinEngineeringUniversity第二讲：数学物理方程的分类和行波法§2.1数学物理方程的分类一、线性二阶偏微分方程HarbinEngineeringUniversity（1）齐次性：时，无源物理场，例子，不含点源所在位置的点源场非齐次：时，有源物理场。例如含点源的整个声场线性二阶偏微分方程：叠加原理线性：HarbinEngineeringUniversity只是的函数，而不是u,F，或更复杂变量的函

3、数，否则是非线性的。例1，理想、均匀介质，小振幅波动方程为线性的线性的主要特征：满足叠加原理灯泡、手榴弹声源特性—时域波形例2,非线性的：大振幅平面波波动方程，(非线性声学),波动方程的解不满足叠加原理HarbinEngineeringUniversity应用：灯泡声源、声弹二、叠加原理把线性偏微分方程统一写成算符形式：HarbinEngineeringUniversity定义：如果函数使方程恒成立，则称是方程的解。HarbinEngineeringUniversity性质1若和都是齐次方程的解，即，，则它们的线性组合也是齐次方程的解。性质2若和都是非齐次方程的差一定

4、是相应齐次方程的解。的解则它们线性偏微分方程性质：HarbinEngineeringUniversity性质3若和分别满足非齐次方程，则它们的线性组合非齐次方程和满足数理方程中的叠加原理如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作是几部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程就行。包含源的叠加和边界条件的叠加HarbinEngineeringUniversity源的叠加如果：则：其中：如下方程的解：物理解释：N个声源辐射的总声场，就是单个声源源辐射声场的叠加HarbinEngineeringUnivers

5、ity边界条件的叠加边界条件的叠加：（以第一类边界条件为例）如果则HarbinEngineeringUniversity边界条件的叠加续其中：uk(k=1,…,N)为下面方程的解边界条件为：HarbinEngineeringUniversity叠加原理(续)注意：边界条件和源可以同时分解，并可以进行组合:HarbinEngineeringUniversity三、两个自变数方程的分类双曲型：波动方程抛物型：扩散方程、热传导方程椭圆型：稳定场方程，如稳定浓度分布，稳定温度分布场方程HarbinEngineeringUniversity§2.2行波法数理方程的解法：行波法分

6、离变量法格林函数法积分变换法变分法HarbinEngineeringUniversity行波法——D’Alembert公式D’Alembert法国著名的物理学家、数学家和天文学家，最著名的有八卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、23卷的《文集》、《百科全书》的序言等等。他的很多研究成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。HarbinEngineeringUniversity行波法—达朗贝尔公式(续)难能可贵的是，在宗教学校里受到了许多神学思想的熏陶以后，达朗贝尔仍然坚信真理、一生探求科学的真谛、不盲从于宗教的认识论。后来他自学了一些科学家的著作，并且完成了一些学术

7、论文。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。D’AlembertHarbinEngineeringUniversity一、定解问题：泛定方程:定解条件:（2）（3）HarbinEngineeringUniversity求通解（4）（2）式算符分解坐标变换：则：（5）（6）HarbinEngineeringUniversity求通解续:（4）（5）（6）（7）（8）（9）—通解HarbinEngineeringUniversity求通解续:选择：通解：（10）进而Harbi