凸体截面与投影体积比较的稳定性研究

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1、重庆师范大学硕士学位论文凸体截面与投影体积比较的稳定性研究硕士研究生：胡骏芳指导老师：吕松军副教授学科专业：基础数学所在学院：数学学院重庆师范大学二○一四年六月万方数据MasterthesisofChongqingNormalUniversityStabilityofvolumecomparisonproblemsforintersectionsandprojectionsofconvexbodiesCandidate：JunfangHuSupervisor：AssociateProfessor

2、SongjunLvMajor:PureMathematicsCollege:CollegeofMathematicsChongqingNormalUniversityJune,2014万方数据重庆师范大学硕士学位论文中文摘要凸体截面与投影体积比较的稳定性研究摘要本文所做研究属于凸体极值理论范畴。其核心为星体的截面与凸体的投影的极值问题。本文主要探讨了截面与投影的相关不等式的稳定性，运用Fourier变换和Radon变换建立了一些重要的体积比较结果的稳定性。我们的第一个研究问题是与截面相关的体积比

3、较问题。我们首次提出一种体积商形式的稳定性替代Koldobsky的体积差形式的稳定性。接着通过i-Radon变换与i-截面体之间的关系，运用调和分析方法，证明了广义Funk截面定理的稳定性。这些结果为进一步探讨诸如截面问题等重大问题提供了全新的视野。随后我们从体积商形式出发建立了广义Busemann-Petty问题的稳定性。并且说明商形式的稳定性与Koldobsky所建立的差形式的Busemann-Petty问题的稳定性之间的关联。同时我们也研究了Lp-Shephard问题的稳定性。为了包含p=

4、n这一特殊情形，我们实际考虑的是体积单位化的Lp极投影体的稳定性。为了说明这一结果，我们建立了一个全新的体积单位化的Lp极投影体的Fourier变换公式。由此，我们完全解决了对所有可能的实数p的Lp-Shephard问题的稳定性。该种稳定性结果不仅包括经典的奇数p=4k+1，而且也包括了另一奇数分支p=4k-1，尤其涵括了空间维数n为奇数时，p=n的特殊情况。关键词：稳定性，体积商，i-Radon变换，Fourier变换，对偶混合体积I万方数据重庆师范大学硕士学位论文英文摘要Stabilityo

5、fvolumecomparisonproblemsforintersectionsandprojectionsofconvexbodiesAbstractThetopicofthisthesisbelongstotheextremaltheoryofconvexbodieswhichfocusesonintersectionofstarbodyandprojectionofconvexbody.Thethesisdevotestothestabilityofsomeinequalitiesinv

6、olveintersectionandprojection.UsingFouriertransformandRadontransform,weobtainseveralstabilityresults.Ourfirstmaingoalistoconsiderthestabilityproblemofthevolumecomparisonproblems.Weprovideanewstabilityintermsofvolumequotientinsteadofvolumedifferenceof

7、Koldobsky’s.Inviewoftheclosedrelationshipbetweeni-Radontransformandi-intersectionbodies,applyingthemethodoffunctionalanalysis,wegetthestabilityresultsofthegeneralizedFunk’sintersectiontheorem.Theseresultsprovideanewvisionforthefurtherstudyofsomeimpor

8、tantopenproblemssuchastheslicingproblem.Next,weestablishthestabilityresultofgeneralizedBusemann-Pttyproblemwithvolumequotient.Specially,weinvestigatetheconnectionsbetweenthenewstabilityinthevolumequotientandstabilityinthevolumedifference.Also,weestab