概率论 第7章 随机过程及其统计描述1

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1、第七章随机过程及其统计描述在概率论中主要研究一个或有限个随机变量,即一维或者n维随机变量(随机向量),随着科学技术的发展,往往需要接连不断的观察或研究随机变量的变化过程,这就要同时考虑无穷多个随机变量,或者说一族随机变量,随机过程这是在这种要求下,于上世纪产生并发展起来的一个数学分支,它是研究随机现象变化过程的规律性的理论.目前以广泛应用于许多现代科学技术领域之中.随机过程及其统计描述随机过程的基本概念随机过程的分类泊松过程7.1随机过程的基本概念一引言现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与发展的，这些现

2、象通常称为过程。可分为两类：(1)确定性的变化过程：(2)不确定的变化过程：如果质点在一个随机的力（它由各种随机因素形成）的作用下，那么质点的运动也是随机的。如何描述这样的变化过程?1.如果对其变化过程的全过程做一次观察,得到一个位置与时间关系的函数x1(t),若再次观察，又得到函数x2(t),…,因而得到一族时间函数.2.如果在时刻t观察质点的位置x(t),则x(t)是一个随机变量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t),于是我们就得到一族随机变量{X(t),t≥0},（最初始时刻为t=0）,它描述了

3、此随机的运动过程。图7-1它在任一确定时刻的值是随机变量.显然这个随机过程的状态空间为。我们称这种随时间的进展而变化与发展的随机现象为随机过程。注释：(1)随机过程是定义在Ω×T上的二元函数，因此可以从两个角度去理解,因而有如上的两个定义。在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在实际测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式例3:考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设是第n次（）抛掷的点数，对于n=1,2…的不同值,是不同的随机变量，因而构成一随机过程，称为贝努利过程或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前n次抛掷中出现

4、的最大点数，也是一随机过程。二随机过程的概率分布（一）随机过程的分布函数族1.一维分布函数族2.n维分布函数族注:可以证明（柯尔莫哥洛夫），在一定条件下，随机过程的统计特性完全由它的有限维分布函数族决定。（二）二维随机过程的联合分布函数例6求例1中的随机过程的一维分布函数和二维分布函数解：对任意实数有特别的三随机过程的数字特征①函数为{X(t),tT}的均方值函数.为{X(t),tT}的方差函数.为{X(t),tT}的自协方差函数.②③④为{X(t),tT}的均值函数.1.单个随机过程的情况⑤诸数字特

5、征的关系：为{X(t),tT}的自相关函数.2．二个随机过程的情况①②③④例7求例1中的随机过程的均值函数，方差函数，相关函数和协方差函数。解：解:Θ的概率密度为于是所以一维概率密度为又由正态分布的性质知，对于任意服从二维正态分布而所以二维概率密度为其中两个随机过程之和的自相关函数为各个随机过程的相关函数与它们的互相关函数之和。若两个随机过程的均值函数均恒为零，且互不相关时，有解：作业