第十章随机过程及其统计描述

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1、第十章随机过程及其统计描述本章首先从随时间演变的随机现象引入随机过程的概念和记号．接着，一般地介绍随机过程的统计描述方法．最后，作为示例，从实际问题抽象出两个著名的随机过程，并介绍它们的统计特性．§1随机过程的概念随机过程被认为是概率论的“动力学”部分(J．Neyman，1960)．意思是说，它的研究对象是随时间演变的随机现象．对于这种现象，一般来说，人们已不能用随机变量或多维随机变量来合理地表达，而需要用一族(无限多个)随机变量来描述．现在来看一个具体例子．热噪声电压电子元件或器件由于内部微观粒子(如电子)的随机热骚动所引起的端电

2、压称为热噪声电压，它在任一确定时刻‘的值是一随机变量，记为y(，)．不同时刻对应不同的随机变量，当时间在某区间，譬如上推移时，热噪声电压表现为一族随机变量，记为0，如图10—1

3、，这个电压一时间函数在试验前是不可能预先确知的，只有通过测量才能得到．如果在相同条件下独立地再进行一次测量，则得到的记录是不同的．事实上，由于热骚．328．动的随机性，在相同条件下每次测量都将产生不同的电压——时间函数．这样，不断地独立重复地一次次测量就可以得到一族不同的电压—一时间函数，这族函数从另一角度刻划了热噪声电压．HightideagainstCCPbloodyanTomb,CommunistPartymembersandpartoftheexposedTombareavacatedbyprogressiveyouth.I

4、visitedinBeijingin1985whenitwasoldundergroundcomrade,sisterofYaoZhiyingYaoMuzheng(thenDeputyDirectoroftheexternaltrademagazineforthepromotionofinternationaltrade,deshengmenWai,theReed现以上述例子为背景，引入随机过程的概念．设了是一无限实数集．我们把依赖于参数的一族(无限多个)随机变量称为随机过程，记为，这里对每一个，X(”是一随机变量．丁叫做参数集．我

5、们常把2看作为时间，称X(”为时刻¨寸过程的状态，而X(‘1)＝J(实数)说成是，＝小时过程处于状态J●对于一切，X(‘)所有可能取的一切值的全体称为随机过程的状态空间．对随机过程进行一次试验(即在丁上进行一次全程观测)，其结果是‘的函数，记为I(()，‘仨了，称它为随机过程的一个样本函数或样本曲线．所有不同的试验结果构成一族(可以只包含有限个，如本节例1)样本函数．随机过程可以看作是多维随机变量的延伸．随机过程与其样本函数的关系就象数理统计中总体与样本的关系一样．依照上面的说法，热噪声电压的变化过程是一随机过程，它的状态空间是，一

6、次观测到的电压一时间函数就是这个随机过程的一个样本函数．在以后的叙述中，为简便起见，常以X(，)，表示随机过程．在上下文不致混淆的情形下，一般略去记号中的参数集丁．‘329．例1抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S＝{／／，了}，现藉此定义其中尸(／／)＝尸(了)＝1／2．对任意固定的‘，X(‘)是一定义在S上的随机变量；对不同的‘，X(‘)是不同的随机变量(见图10—2)，所以{X(‘)，J仨}是一族随机变量，即它是随机过程．另一方面，作一次试验，若出现／／，样本函数；若出现了，样本函数为J：(，)＝‘，所以该随机过程对应的一族样本函

7、数仅包含两个函数：．显然这个随机过程的状态空间为．口例2考虑式中。和oJ是正常数，田是在(o，27t)上服从均匀分布的随机变量．显然，对于每一个固定的时刻‘＝九，HightideagainstCCPbloodyanTomb,CommunistPartymembersandpartoftheexposedTombareavacatedbyprogressiveyouth.IvisitedinBeijingin1985whenitwasoldundergroundcomrade,sisterofYaoZhiyingYaoMuzheng(

8、thenDeputyDirectoroftheexternaltrademagazineforthepromotionofinternationaltrade,deshengmenWai,theReed是一个随机变量，因而由(1．1)