随机过程及其统计描述概率论与数理统计

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1、1第十章随机过程及其统计描述§1随机过程的概念2热噪声电压电子元件或器件由于内部微观粒子(如电子)的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压,它在任一确定时刻t的值是一随机变量,记为V(t).不同时刻对应不同的随机变量,当时间在某区间,譬如[0,+)上推移时,热噪声电压表现为一族随机变量,记为(V(t),t0),在无线电通讯技术中,接收机在接收信号时,机内的热噪声电压要对信号产生持续的干扰.通过某种装置对元件两端的热噪声电压进行长期测量,并记录结果,作为试验结果,得到一电压-时间函数.3多次试验

2、得到多个电压函数tv1(t)tv2(t)tvk(t)tj4设T是一无限实数集,把依赖于参数tT的一族(无限多个)随机变量称为随机过程,记为{X(t),tT},这里对每一个tT,X(t)是一随机变量.T叫做参数集.常把t看作为时间,称X(t)为时刻t时过程的状态,而X(t1)=x(实数)说成是t=t1时过程处于状态x,对于一切tT,X(t)所有可能取的一切值的全体称为随机过程的状态空间.对随机过程{X(t),tT}进行一次试验,其结果是t的函数,记为x(t),tT,称它为随机过程的一个

3、样本函数或样本曲线.所有不同的试验结果构成一族样本函数.5随机过程可看作多维随机变量的延伸.随机过程与其样本函数的关系就象数理统计中总体与样本的关系一样.因此,热噪声电压的变化过程{V(t),t0}是一随机过程,它的状态空间是(-,+),一次观测到的电压-时间函数就是这个随机过程的一个样本函数.在以后的叙述中,为简便起见,常以X(t),tT表示随机过程.在上下文不致混淆的情况下,一般略去记号中的参数集T.6例1抛掷一枚硬币试验,样本空间是S={H,T},现藉此定义tt1t2Ox(t)x=t

4、x=cospt7其中P(H)=P(T)=1/2.对任意固定的t,X(t)是一定义在S上的随机变量;对不同的t,X(t)是不同的随机变量,所以{X(t),t(-,+)}是一族随机变量,即它是随机过程.另一方面,作一次试验,若出现H,样本函数x1(t)=cospt;若出现T,样本函数为x2(t)=t,所以该随机过程对应的一族样本函数仅包含两个函数:{cospt,t}.显然这个随机过程的状态空间为(-,+).8例2考虑X(t)=acos(wt+Q),t(-,),(1.1)式中a和w是正常

5、数,Q是在(0,2p)上服从均匀分布的随机变量.tOx(t)x1(t),q1=0x2(t),q2=3p/29显然,对于每一个固定的时刻t=t1,X(t1)=acos(wt1+Q)是一个随机变量,因而由(1.1)式确定的X(t)是一个随机过程,通常称它为随机相位正弦波.它的状态空间是[-a,a].在(0,2p)内随机地取一数qi,相应地即得这个随机过程的一个样本函数xi(t)=acos(wt+qi),qi(0,2p).10例3在测量运动目标的距离时存在随机误差,若以e(t)表示在时刻t的测量误差,

6、则它是一个随机变量.当目标随时间t按一定规律运动时,测量误差e(t)也随时间t而变化,换句话说,e(t)是依赖于时间t的一族随机变量,亦即{e(t),t0}是一随机过程.且它们的状态空间是(-,+).11例4设某城市的120急救电话台迟早会接到用户的呼叫,以X(t)表示时间间隔(0,t]内接到的呼叫次数,它是一个随机变量,且对于不同的t0,X(t)是不同的随机变量.于是,{X(t),t0}是一随机过程.且它的状态空间是{0,1,2,...}.12例5考虑抛掷一颗骰子的试验.(i)设Xn是

7、第n次(n1)抛掷的点数,对于n=1,2,...的不同值,Xn是不同的随机变量,因而{Xn,n1}构成一随机过程,称为伯努利过程或伯努利随机序列.(ii)设Xn是前n次抛掷中出现的最大点数,{Xn,n1}也是一随机过程.它们的状态空间都是{1,2,3,4,5,6}.13工程技术中有很多随机现象,例如,地震波幅,结构物承受的风荷载,时间间隔(0,t]内船舶甲板"上浪"的次数,通讯系统和自控系统中的各种噪声和干扰,以及生物群体的生长等等变化过程都可用随机过程这一数学模型来描绘.不过,这些随机过程

8、都不能象随机相位正弦波那样,很方便,很具体地用时间和随机变量(一个或几个)的关系式表示出来,其主要原因是自然界和社会产生随机因素的机理极为复杂,甚至不可能观察到,因此只有通过分析样本函数才能掌握它们的规律性.14随机过程的不同描述方式在本质上是一致的.在理论分析时往往以随机变量族的描述方式作为出发点,而在实际测量和数据处理中往往采用样本函数族的描述方式.这两种描述方式在理论和实际两方面是互为补充的.随机过程可依其在任一时刻的状态是连续型或离散型随机变量而分成连续型随机过程和离散型随