概率论 第二章 随机变量及其分布

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1、第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布函数§2.2离散型随机变量及概率分布§2.3连续型随机变量及概率分布§2.4多维随机变(向)量其分布§2.5随机变量的独立性§2.6随机变量函数的分布RandomVariablesDistributionfunction例：已知的分布函数为，设是某一随机变量的分布函数，求常数。分析：若是某一随机变量的分布函数，则分布函数的几条性质一定满足。则由性质(4)同时右侧也取的极限，可得，从而可得，。一、离散型随机变量的定义二、离散型随机变量的概率分布三、几种常用分布§2.2离散型随机变量及概率分布Discretetyp

2、eProbabilityDistributionDistributionlaw非负性归一性GeometricDistributionTwo-pointDistributionBinomialDistributionPoissonDistribution§2.3连续型随机变量及其分布一、连续型随机变量的概率分布二、三种常用分布r.voftheContinuoustypeandDistributionDistributiondensity例：设的为，求常数，以及相应的概率密度。解：由随机变量分布函数的性质（4），可知，从而可得，解得，其概率密度为柯西分布Exp

3、onentialDistributionUniformDistribution例：设，求方程有实根的概率。分析：方程有实根的充要条件为从而有，可解得，所以该方程有实根的概率为记为NormalDistributionExponentialDistributionSymmetryStandardNormalDistributionUnusual练习1：由某机器生产的螺栓长度（单位：cm），规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。分析：“螺栓为不合格品”即为或，由，易求得其概率为练习2：从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可

4、走，第一条：穿市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）服从分布；第二条：环城公路，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从分布。（1）假如有70分钟可用，问应走哪一条路？（2）假如有65分钟可用，问又应走哪一条路？答案：（1）应走第二条路，（2）应走第一条路。例：一工厂生产的某种元件的寿命（单位：小时），若要求，允许最大为多少？解：由，即可知即从而有，可得。练习：某种电池的寿命（小时），其中，。（1）求电池寿命在250小时以上的概率。（2）求，使寿命在与之间的概率不小于90%。答案：（1）（2）1、设的为则的概率分布为。分析：在的连续点，，只有在的

5、间断点处取值的概率才大于0，且则有即2、设的概率密度为以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，则。分析：由归一性，易知，则由题意知，，则3、设，且，则分析：由，可知再由，可得，从而，4、设，，若，则，。分析：由，以及，可得解得从而可知则5、设，且，则分析：由题设条件可知从而可得，则1、设，，记，则。对任何实数都有；对任何实数都有；对任何实数都有；仅对的个别值有。分析：2、设，则随着的增大，概率单调增加单调减少保持不变增减不定分析：三、某种型号器件的寿命（小时）具有以下概率密度现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命

6、大于1500小时的概率是多少？分析：每只器件寿命大于1500的概率为以表示这5件器件中寿命大于1500小时的只数，则从而所求概率即为，类似思考：设顾客在某银行窗口等待服务的时间（分钟）服从参数为5的指数分布，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出的分布律，并求。五、有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过。设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0002，在某天的这段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？分析：以表示通过的这1000辆车中出事故的辆数

7、，即求而由于故可由泊松定理近似计算，直接查泊松分布表得其概率。则六、如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量，即服从参数与t成正比的泊松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解：由已知，可得的概率分布为当时，从而可得当时，思考：一台设备由三个大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2和0.3，假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的概率分布。对比思考：一台设备由三个大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率均为0.2，假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要

8、调整的部件数，试求的概率分布。