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《概率论讲义 第二章 随机变量及其分布》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章随机变量及其分布第一节随机变量1.为什么引入随机变量?概率论是从数量上来研究随机现象统计规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念．2.随机变量的引入实例1在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.实例2抛掷骰子,观察出现的点数.二、随机变量的概念定义设随机试验E的样本空间是S={e},X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数,则我们称X=X(e)为随机变量.2.说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量是
2、一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(3)随机变量与随机事件的关系随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.下面我们举几个随机变量的例子:(1)n次射击命中目标的次数X(或随意抽验n件产品,其中不合格品的件数),它有n+1个可能取值:0,1,2
3、,…,n.(2)灯泡寿命X,可以取[0,+¥)上的任意值.(3)测量误差X,可以取(-¥,+¥)上的任意值.有了随机变量,随机试验中的各种事件,就可以通过随机变量的关系式表达出来.例如,从一批产品中任意取出10件,若用X表示其中的废品数,这时,{少于2件废品}、{恰有1件废品}两个事件,就可以分别用{X<2}、{X=1}来表示.又如单位时间内电话交换台接到的呼唤次数用X表示,此时{接到不少于1次呼唤}、{没有接到呼唤}两个事件,可以分别用{X³1}、{X=0}来表示.再如,上面(2)中事件{寿命不少于200小时而不超过1000小时}的事件,就可用{200£X£1000}来表示.例1
4、“掷一颗骰子”是随机现象,用随机变量X表示出现的点数,求(1)X的取值范围;(2)概率P{X£4}及P{X<4};(3)概率P{X>4}及P{2£X<4}.引进了随机变量,就可以通过随机变量来描述随机试验中各种事件,全面反映试验的情况.因此,我们对随机现象统计规律性的研究,就可以由对事件与事件的概率的研究扩大为对随机变量的研究.39第二节离散型随机变量极其分布律如果随机变量它所有可能取的值是有限个或可列个值,则我们就称之为离散型随机变量.设离散型随机变量X的所有可能取值为xk(k=0,1,2,…),X取各个可能值的概率,即事件{X=xk}概率为P{X=xk}=pk,k=0,1,2,
5、…(1)则我们称(1)式为离散型随机变量X的分布律或概率分布.分布律也可以用表格的形式来表示:Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…由概率的定义,pk满足如下两个条件:1°0£pk£1,k=0,1,2,…;2°.(2)注:凡满足(2)的函数pk一定是某个离散型随机变量的分布律.例1(1)设随机变量X的分布律为,k=1,2,3,求常数c的值.(2)设随机变量X的分布律为,k=0,1,2,…,l>0,求常数c的值.下面介绍三种重要的离散型随机变量.一、(0-1)分布(或两点分布)设随机变量X只可能取0或1两个值,它的分布律为,k=0,1,(06、0-1)分布.凡是只有两个结果的试验都可以用(0-1)分布来描述.二、伯努利试验、二项分布在实践中,我们经常遇到下列类型的重复试验:(1)每次试验的条件都相同,且试验结果;只有两个:A及,且P(A)=p,P()=q=1-p(07、伯努利概型知,在n次试验中事件A在指定的k次试验中出现(如在前k次出现),其余n-k次试验中不出现的概率为.由于n次试验中A出现k次的方式很多(在前k次出现只是其中一种方式),其总数相当于k个相同的质点安排在n个位置(每个位置只能安排一个质点)上的所有可能方式,易知共应有种方式,而它所对应的这个事件(即“n次试验中A出现k次”这一事件)是不相容的,故由概率的可加性得,k=0,1,2,…,n.例3设由四门高射炮同时独立地向一架敌机各发射一发炮弹,若低机被不少于两发炮弹击
