材料力学 第七章 柱形杆问题

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1、第七章柱形杆问题第七章柱形杆问题§7-1圣维南问题§7-2柱形杆扭转问题的基本解法§7-3反逆法与半逆法，扭转问题解例§7-4薄膜比拟§7-5柱形杆的一般弯曲目录本章用弹性力学方法分析材料力学中人们最熟悉的杆，柱，梁，轴等部件的应力应变状态。对于均匀拉压，纯弯和圆轴扭转问题，材料力学解是精确的。对于一般弯曲和非圆截面扭转问题，弹性力学将提供更通用的解法和更精确的结果。柱形杆问题是最早应用圣维南原理的典型例子。第七章柱形杆问题将一个平面图形（又称截面）沿通过其形心且垂直于该截面的直线（又称形心轴）平移所得到的细长物体称为柱形杆或等直杆。它是工程中最常用

2、的一类结构部件。在材料力学中，相应于拉，压，弯，扭等不同受载情况，分别称之为杆，柱，梁，轴。图1所示任意截面形状的实心柱形杆。令z为形心轴，x，y为截面的形心主轴。对称截面的形心主轴就是其对称轴。由平行于z轴的母线AA沿截面边界绕行一周所生成的侧面。图1§7-1圣维南问题考虑柱形杆仅受端部截面的情况，这时杆内体力为零，侧面自由。考虑柯西公式，侧面的力边界条件为利用剪应力互等原理把第三方程中的和改成作用在横截面上的剪应力和（见图2）得（1）§7-1圣维南问题图2此式表示边界处剪应力的法向分量,因而横截面上剪应力在边界处沿边界线的切线方向。由剪应力互等得

3、，这与“侧面自由”假设相一致。在杆的两端，通常只知道端部载荷的合力和合力矩，不能逐点给出端面上的载荷分布规律。为此，圣维南建议采用如下放松的积分边界条件：在的端面上：§7-1圣维南问题（2a）（2b）（2c）（2d）在的端面上，对应弯矩的条件改为其余条件均相同，其中表示杆长。这类在端部载荷作用下用放松边界条件求解的柱形杆问题称为圣维南问题。显然，与端部载荷静力等效的任何一组端面应力分布都能满足上述放松边界条件。所以圣维南问题可以说有无穷多个解，只要找到其中一个，问题就算解决了。这在数学上是方便的，在物理上也是合理的。因为根据圣维南原理，静力等效处理的

4、影响仅限于杆端附近，在细长杆的中段无论哪个解都能给出较精确的应力、应变状态。§7-1圣维南问题（2e）根据叠加原理，柱形杆问题可分解成四种载荷情况：（1）简单拉伸：仅，其余外力均为零。（2）纯弯曲：仅，其余外力均为零。（3）扭转：仅，其余外力均为零。（4）一般弯曲：仅其余外力均为零。一般载荷情况的解，可由上述四种解叠加而成。§7-1圣维南问题圣维南于1855年和1856年先后解决了柱体的扭转和弯曲问题。米歇尔（J.H.Michel）于1901年和1905年分别解决了几种分布载荷下的弯曲问题和变截面柱体的扭转问题。普朗特（L.Prandtl）于1903

5、年和铁木辛柯（S.P.Timoshenko）于1913年引进应力函数法分别解决了以应力函数为未知量的扭转和弯曲问题。其方法是半逆解法，或称圣维南半凑合解法。§7-1圣维南问题材料力学解圆轴扭转问题时曾采用刚性转动假设（截面绕形心轴作刚体转动，而形状不变）和平截面假设（截面变形后仍保持平面，而无翘曲）。由此可写出三个位移分量（见图3）其中，是间距为单位杆长的两截面的相对转角，称为扭角，当法线与z轴同向的截面由x轴转向y轴时为正。是距原点为z处的截面的转角。（3）图3§7-2柱形扭转问题的基本解法利用几何方程，胡克定律和平衡条件，可得剪应力和扭角公式：（

6、4）（5）——扭矩——极惯性矩——扭转刚度（产生单位扭角所需要的扭矩）最大剪应力§7-2柱形杆扭转问题的基本解法位移解法圣维南根据刚性转动假设和等翘曲假设（变形后各截面的翘曲形状相同）给出如下三个位移函数：前两式与（3）式相同，第三式中的描述了各截面的翘曲形状，称为翘曲函数。它的具体形式尚待确定，但肯定与z无关。（6）§7-2柱形杆扭转问题的基本解法下面用弹性力学方法处理非圆截面杆的扭转问题。实验表明，这时杆截面将发生翘曲，平截面假设将失效，但刚体转动假设仍然成立。这里将着重讨论杆截面允许自由翘曲的自由扭转问题。将位移表达式代入几何方程得到应变分量为

7、：再由第三章公式由第三式得，即扭角是单位杆长的相对转动。得转动分量：§7-2柱形杆扭转问题的基本解法（7）（6a）柱形杆自由扭转问题的特点——只存在截面内的剪应力和剪应变而且它们都仅是截面内坐标x，y的函数，因而可以简化为二维问题。由胡克定律得应力分量（8）§7-2柱形杆扭转问题的基本解法平衡方程式化为把（8）式代入，导得用翘曲函数表示的平衡方程翘曲函数是调和函数。（9）（10）§7-2柱形杆扭转问题的基本解法在侧面边界条件中仅剩上式，把（8）式代入得方向导数公式（11）（12）——为边界处的法向导数§7-2柱形杆扭转问题的基本解法由图4，边界处法线

8、的方向余弦为（13）图4在端面边界条件中，还剩（2b）和（2d）式（14）§7-2柱形扭转问题的基本解法可证