数字信号处理 2

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1、数字信号处理DigitalSignalProcessing(DSP)信息学院电子系第2章离散傅里叶变换2.1引言2.2周期序列的离散傅里叶级数（DFS）2.3离散傅里叶级数（DFS）的性质2.4有限长序列离散傅里叶变换（DFT）2.5离散傅里叶变换（DFT）的性质2.6频域采样理论2.1引言计算机只能处理有限长离散序列，因而无法直接利用ZT与FT进行数值计算针对有限长序列,还有一种更有用的数学变换,即离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform），使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行DFT的实质：有限长

2、序列傅里叶变换的有限点离散采样，即频域离散化DFT有多种快速算法(FastFourierTransform),因此不仅在理论上有重要意义,在各种数字信号处理算法中亦起着核心作用傅里叶变换的几种可能形式连续和非周期连续和周期离散和非周期离散和周期非周期和连续非周期和离散周期和连续周期和离散?周期和连续(d)

3、X(ejkw)

4、swo£ppNµãws结论一个域的离散对应另一个域的周期延括一个域的连续对应另一个域的非周期数字信号处理涉及的变量和运算都是离散(数字)的，因此在作傅里叶变换时，时间函数和频率函数都应该是离散的前三种傅里叶变换对中

5、，时域或频域中至少有一种是连续函数，所以都不可能在计算机上进行运算和实现对于数字信号处理，应该找到一种时域和频域都是离散的博里叶变换，即离散傅里叶变换(DFT)要使前三种傅里叶变换形式能在计算机上进行计算，必须针对每一形式的具体情况，在时域上(或频域，或在时域与频域上同时)采样离散化信号在时域上采样形成频率的周期函数，而在频域上采样则导致时域的周期函数．前三种形式最后都能成为第四种形式——离散傅里叶变换(DFT)有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数（DFS）本质上是一样的我们先讨论周期序列的DFS，在此基础

6、上讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的DFT2.2周期序列的离散傅里叶级数(DFS)周期序列不是绝对可和的，因此FT是不存在的，但由于是周期性的，可以展成DFS由于n与N均为整数,与连续时间周期函数相比,有自已的特点对于正弦序列(或复指数序列),仅当2π/ω0为整数时,才是周期为2π/ω0的周期序列r为任意整数设是一个周期为N的周期序列，即若2π/ω0为有理数,序列仍具有周期性，但周期大于2π/ω0若2π/ω0为无理数,序列不具有周期性r为任意整数周期序列中应用最广泛的序列为：周期性对称性n=mN,m为整数其他n正交性上述特性为

7、离散傅里叶变换的分析与计算提供了方便周期序列(N)可以用离散傅里叶级数来表示，即用周期为N的复指数序列来表达一个周期为N的周期序列有N个独立值，其离散傅里叶级数也只有N个独立分量。其离散傅里叶级数变换对可表示为DFS[·]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[·]表示反变换这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列值有信息,因而周期序列和有限长序列有着本质的联系例已知周期序列其周期N=8,试求解DFS的幅度特性如下图所示可看成是对的第一个周期x(n)傅里叶变换的等间隔采样通常称x(n)为的主值区序列DFS的物理意义0≤n≤N-1其他

8、n令x(n)的Z变换为比较上面两式，可以得到结论：当0≤k≤N-1时，是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变化，的值呈周期变化结论：也可解释为的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间隔采样。采样频率为2π/N2.3离散傅里叶级数（DFS）的性质离散博里叶级数的某些性质已成功地应用于信号处理问题2.3.1线性两个离散周期序列线性组合成一个新周期序列的DFS(频域序列)也是周期为N的离散周期序列令i=n+m2.3.2序列的移位或(时域移位)(频域移位)已知时域移位证明:由于都是以N为周期的周期函数,因此频域移位

9、证明2.3.3周期卷积证代入如果则或时域周期卷积得交换求和次序将变量进行简单换元，即可得等价的表示式说明:上述周期序列的卷积公式，与非周期序列的线性卷积不同乘积也是周期为N的周期序列求和只在一个周期上进行，所以称为周期卷积周期卷积的计算过程运算在m=0到N-1区间内进行，即在一个周期内将与逐点相乘后求和计算出一个周期n=0,1,…,N-1的结果后，进行周期延拓周期卷积的过程图示*时域周期序列的乘积对应频域周期序列的周期卷积频域周期卷积则如果2.4有限长序列离散傅里叶变换（DFT）2.4.1DFT的定义周期序列与有限长序列有着本质的联

10、系,有限长序列的离散频域表示(DFT)可由周期序列的DFS导出设x(n)为有限长序列，长度为N为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列的一个周期，而把看成x(n)的以N为周期的周期延拓主值区间:的第一个周期n=0到n=N