数字信号处理--内容2

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1、第3章离散傅立叶变换DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT3.1离散傅氏级数及其性质傅立叶变换实质上是在以时间为自变量的“信号”和以频率为自变量的频谱之间建立某种变换关系，所以当自变量“时间”或“频率”周期性或取离散值时，就会形成不同形式的傅立叶变换对。傅氏变换时间域和频率域的对应关系：时间域频率域非周期和连续的　　　非周期和连续的周期的和连续的离散非周期谱离散，非周期的周期的，连续的周期，离散的周期的，离散的有限长序列的傅里叶分析一、四种信号傅里叶表示1.周期为T0的连续时间周期信号频谱特点：离散非周期谱2.连续时间非

2、周期信号频谱特点：连续非周期谱3.离散非周期信号频谱特点：连续周期谱4.周期为N的离散周期信号频谱特点：周期为N的离散谱周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数，1)可求k次谐波的系数2）也是一个由N个独立谐波分量组成的傅立叶级数3）为周期序列，周期为N。离散傅里叶级数（DFS）即：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为：习惯上：记，叫旋转因子．则DFS变换对可写为DFS[·]——离散傅里叶级数正变换IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有

3、意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。一个有限长序列x(n)，长为N，为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列，它由长度为N的有限长序列x(n)延拓而成，它们的关系：离散傅里叶变换（DFT）周期序列的主值区间与主值序列：对于周期序列，定义其第一个周期n=0~N-1，为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x(n)。x(n)与的关系可描述为：有限长序列及其周期延拓频域上的主值区间与主值序列：周期序列的离散付氏级数也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间，以及主值序列X(k)。数学表示：长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N

4、的有限长序列，它们的关系为：x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对。DFS和DFT都是用N个值来定义的，它们之间没有本质区别，有限长序列隐含着周期性。ＤＦＴ是ＤＦＳ的主值，ＤＦＳ可看成是ＤＦＴ的周期延拓.其中N＝8。1.线性需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT2.循环位移(Circularshiftofasequence)循环位移定义为离散傅里叶变换的性质分3步计算：4nnnnn1532k=0k=2k=1k=4k=33.对称性(symmetry)4.循环卷积1、时域循环卷积定理的表述2、循环卷积的计算（1）x1(m)图形不变，x2(m)周期化为

5、（2）将周期序列翻转形成（3）对移位形成（4）取主值序列得（5）将x1(m)与相乘（6）对m在0－N-1上求和，便得到循环卷积X2((-m))NX2((1-m))NX2((2-m))NX2((3-m))N三种卷积的联系和区别：１．线性卷积２．周期卷积３．循环卷积针对性和序列的长度不同3.3利用循环卷积计算线性卷积1.如果L<2N-1,则循环卷积不会等于线性卷积;2.如果L>=2N-1,两者相等.如果两个序列的长度不等:N,M则L应该满足:L>=M+N-1例:计算两个N点的序列的线性卷积和2N点的循环卷积.3.5快速傅里叶变换(FFT)3.5.2时域抽取法基2FFT

6、基本原理FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(DecimationInTimeFFT,简称DIT-FFT)和频域抽取法FFT(DecimationInFrequencyFFT,简称DIF―FFT)。下面先介绍DIF―FFT算法。设序列x(n)的长度为N，且满足为自然数按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即(3.2.5)(3.2.6)由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且，所以X(k)又可表示为(3.2.7)(3.2.8)图4.2.1蝶形运算符号图4.2.2N点DFT的

7、一次时域抽取分解图(N=8)3.5.3DIT―FFT算法与直接计算DFT运算量的比较1.蝶形运算及运算量的比较每级由N/2个蝶形组成,每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的.复数乘次数为复数加次数为例如，N=210=1024时P84表格2.同址计算(原位)每一级的蝶形的输入与输出在运算前后可以存储在同一地址的存储单元中,这种同址运算的优点是可以节省存储单元,减低对硬件的要求.3.序列的倒序或变址计算DIT―FFT算法的输入序列的排序看起来似乎很乱，但仔细分析就会发现这种倒序是很有规律的。由于N=，所以顺序数

8、可用M位二