2019_2020学年高中数学第五章三角函数习题课三角恒等变换的应用课后篇巩固提升（含解析）新人教A版

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1、习题课　三角恒等变换的应用课后篇巩固提升1.函数f(x)=sinxcosx+cos2x-1的值域为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.-2+12,2-12B.2-12,2+12C.[-1,0]D.0,12解析f(x)=sinxcosx+cos2x-1=12sin2x+1+cos2x2-1=12sin2x+12cos2x-12=22sin2x+π4-12,因为-1≤sin2x+π4≤1,所以y∈-2+12,2-12.答案A2.已知α满足sinα=13,则cosπ4+αcosπ4-α=(　　)A.718B

2、.2518C.-718D.-2518解析cosπ4+αcosπ4-α=cosπ2-π4-α·cosπ4-α=sinπ4-αcosπ4-α=12sinπ2-2α=12cos2α=12(1-2sin2α)=121-2×19=718,故选A.答案A3.设a=2sin13°cos13°,b=2tan13°1+tan213°,c=1-cos50°2,则有(　　)A.c

3、°,c=1-cos50°2=sin25°,且正弦函数y=sinx在0,π2上为增函数,所以a>c;在0,π2上tanα>sinα,所以b>a,所以c

4、3,故g(x)=-3sinxcosx+sin2x,整理得g(x)=-sin2x+π6+12,所以对称轴直线方程为2x+π6=kπ+π2,当k=-1时,一条对称轴是直线x=-π3.答案D5.已知函数f(x)=sin2ωx的最小正周期为π,则ω=　　　　　. 解析由于f(x)=sin2ωx=-12cos2ωx+12,因此2π

5、2ω

6、=π,解得ω=±1.答案±16.已知函数f(x)=22(cosx-sinx)sinπ4+x-2asinx+b(a>0)有最大值1和最小值-4,求a,b的值.解f(x)=22(cosx-

7、sinx)sinπ4+x-2asinx+b=12(cos2x-sin2x)-2asinx+b=12(1-2sin2x)-2asinx+b=-(sinx+a)2+12+a2+b.当a≥1时,f(x)的最小值等于fπ2,最大值等于f-π2,依题意得-2a+b-12=-4,2a+b-12=1,解得a=54,b=-1.当0

8、π4+xsinπ4-x.(1)求f-11π12的值;(2)当x∈0,π4时,求函数g(x)=12f(x)+sin2x的最大值和最小值.解(1)f(x)=(1+cos2x)2-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x=cos22xsinπ4+xcosπ4+x=2cos22xsinπ2+2x=2cos22xcos2x=2cos2x,所以f-11π12=2cos-11π6=2cosπ6=3.(2)g(x)=cos2x+sin2x=2sin2x+π4.因为x∈0,π4,所以2x+π4∈π4,3π4,所以当x=π8

9、时,g(x)max=2,当x=0时,g(x)min=1.8.已知函数f(x)=2asinωxcosωx+23cos2ωx-3(a>0,ω>0)的最大值为2,且最小正周期为π.(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程;(2)若f(α)=43,求sin4α+π6的值.解(1)f(x)=asin2ωx+3cos2ωx=a2+3sin(2ωx+φ),由题意知f(x)的周期为π,由2π2ω=π,知ω=1.由f(x)的最大值为2,得a2+3=2,又a>0,∴a=1,∴f(x)=2sin2x+π3.令2x+π3=π2+k

10、π,解得f(x)的对称轴为x=π12+kπ2(k∈Z).(2)由f(α)=43,知2sin2α+π3=43,即sin2α+π3=23,∴sin4α+π6=sin22α+π3-π2=-cos22α+π3=-1+2sin22α+π3=-1+2×232=-19.9.已知函数f(x)=4tanxsinπ2-xcosx-π3-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-π4,π4上的单