2019_2020学年高中数学三角函数5.5.2简单的三角恒等变换课后篇巩固提升（含解析）新人教A版

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1、5.5.2　简单的三角恒等变换课后篇巩固提升1.cos2π8-14的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.2-14B.2+14C.24D.22解析cos2π8-14=1+cosπ42-14=2+14.答案B2.已知α为第一象限角,且tanα=43,则sinα2的值为(　　)A.55B.-55C.±55D.15解析因为α为第一象限角,且tanα=43,所以cosα=35,而α2是第一或第三象限角.当α2是第一象限角时,sinα2=1-cosα2=55;当α2是第三象限角时,sinα2=-1-cosα2=-55,故sinα2=±55.答案C3.若函数f(x)=(1+3tanx)c

2、osx,则fπ12=(　　)A.6-22B.-3C.1D.2解析∵f(x)=1+3·sinxcosxcosx=cosx+3sinx=2sinx+π6,∴fπ12=2sinπ12+π6=2sinπ4=2.答案D4.已知tanα=2,则2sin2α+1cos2α-π4的值是(　　)A.53B.-134C.135D.134解析∵tanα=2,∴2sin2α+1cos2α-π4=2sin2α+sin2α+cos2αcos2α-π2=3sin2α+cos2αsin2α=3sin2α+cos2α2sinαcosα=3tan2α+12tanα=3×22+12×2=134.答案D5.已知1-sinxc

3、osx=35,则cosx1+sinx的值等于(　　)A.35B.-35C.53D.-53解析因为1-sinxcosx·1+sinxcosx=1-sin2xcos2x=cos2xcos2x=1,而1-sinxcosx=35,所以1+sinxcosx=53,故cosx1+sinx=35.答案A6.已知sinα+π3+sinα=-435,则cosα+2π3=(　　)A.-45B.-35C.35D.45解析∵sinπ3+α+sinα=sinπ3cosα+cosπ3sinα+sinα=-435,∴32sinα+32cosα=-435,即32sinα+12cosα=-45.∴sinα+π6=-45

4、.故cosα+2π3=cosα+π2+π6=-sinα+π6=45.答案D7.若tanα=17,则1+cos2αsin2α=　　　　　. 解析因为tanα=sin2α1+cos2α=17,所以1+cos2αsin2α=7.答案78.已知f(x)=sinx+3cosx,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ=　　　　　. 解析因为f(x)=sinx+3cosx=212sinx+32cosx=2sinx+π3,又因为f(θ)=2,所以2sinθ+π3=2,解得θ=π6.答案π69.已知cosx-π6=m,则cosx+cosx-π3=　　　. 解析因为cosx+cosx-π3=cosx+cosxco

5、sπ3+sinxsinπ3=32cosx+32sinx=3cosx-π6,所以cosx+cosx-π3=3m.答案3m10.已知sinα=1213,sin(α+β)=45,α,β均为锐角,求cosβ2的值.解∵0<α<π2,∴cosα=1-sin2α=513,∵0<α<π2,0<β<π2,∴0<α+β<π,若0<α+β<π2,∵sin(α+β)

6、0<β2<π4,∴cosβ2=1+cosβ2=76565.11.已知sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32.证明由已知,得sinA+sinB=-sinC,①cosA+cosB=-cosC.②和差化积,得2sinA+B2cosA-B2=-sinC.③2cosA+B2cosA-B2=-cosC.④∵当cosA-B2=0时,sinC=cosC=0,不满足题意,∴cosA-B2≠0.③÷④,得tanA+B2=tanC.∴cos(A+B)=1-tan2A+B21+tan2A+B2=1-tan2C1+tan2C=cos2C

7、.①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,即cos(A-B)=-12,∴cos2A+cos2B+cos2C=12(1+cos2A+1+cos2B+1+cos2C)=32+12[2cos(A+B)cos(A-B)+cos2C]=32+122cos2C·-12+cos2C=32