2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换教案（含解析）新人教A版

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1、3.2　简单的三角恒等变换学习目标核心素养1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．(重点)3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．(难点、易混点)1.通过进行三角函数式的化简、求值，培养数学运算和数据分析的核心素养.2.通过三角恒等式的证明，提升逻辑推理的核心素养.3.通过三角函数的实际应用，培养数学建模的核心素养.1．半角公式2.辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ

2、)(其中tanθ＝)．1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　)A．－　　B．C．－D．C　[∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，∴cos＜0，故应选C.]2．2sinθ＋2cosθ＝(　　)A．sinB．2sinC．2sinD．sinC　[原式＝2＝2＝2sin.]3．函数f(x)＝2sinx＋cosx的最大值为．　[f(x)＝sin(x＋θ)＝sin(x＋θ)≤.]4．已知2π＜θ＜4π，且sinθ＝－，cosθ＜0，则tan的值等于．－3　[由sinθ＝－，cosθ＜0得cosθ＝－，∴tan＝＝＝＝＝－3.]化

3、简求值问题【例1】　(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　)A．　　B．C．－D．－(2)已知π<α<，化简：＋.思路点拨：(1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．(2)1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．(1)D　[∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.又cos＝a，∴sin＝－＝－.](2)[解]　原式＝＋.∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，∴原式＝＋＝－＋＝－cos.1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差

4、异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．(4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cosα的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．1．已知sinα＝－，π＜α＜，

5、求sin，cos，tan的值．[解]　∵π＜α＜，sinα＝－，∴cosα＝－，且＜＜，∴sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝＝－2.(另tan＝＝＝－2.)三角恒等式的证明【例2】　求证：＝sin2α.思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．[证明]　法一：用正弦、余弦公式．左边＝＝＝＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边，∴原式成立．三角恒等式证明的常用方

6、法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．2．求证：＝.[证明]　左边＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】　已知函数f(x)＝coscos－sinxcosx＋.(1)求函数f(x)的

7、最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．思路点拨：三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数(或余弦函数)的性质得出结论．[解]　(1)∵f(x)＝coscos－sin2x＋＝－sin2x＋＝cos2x－sin2x－sin2x＋＝－－sin2x＋＝(cos2x－sin2x)＝cos.∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ－，k∈Z.函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.应用公式解决三角

8、函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简↓统一化成f(x)＝asinωx＋bcosωx＋k的形式↓3．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x