2019_2020学年高中数学第一章三角函数1.4.2.3正弦函数、余弦函数的单调性与最值学案（含解析）新人教A版

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1、第3课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值正、余弦函数的图象与性质正弦函数余弦函数图象值域[－1,1][－1,1]单调性在(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减最值x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1　(1)正、余弦函数的单调性：①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；②单调区间要在定义域内求解；③确定含

2、有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．(2)正、余弦函数的最值①明确正、余弦函数的有界性，即

3、sinx

4、≤1,

5、cosx

6、≤1；②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；③形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y＝sinx在R上是增函数．(　　)(2)正弦函数y＝sinx的一个增区间是[0，π]．(　　)(3)当余弦函数y

7、＝cosx取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．函数y＝sin，x∈R在(　　)A.上是增函数　B．[0，π]上是减函数C．[－π，0]上是减函数D．[－π，π]上是减函数解析：y＝sin＝cosx，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．答案：B3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是(　　)A．y＝cos

8、x

9、B．y＝cos

10、－x

11、C．y＝sinD．y＝－sin解析：y＝cos

12、x

13、在上是减函数，排除A；y＝cos

14、－x

15、＝cos

16、x

17、，排除B；y＝sin＝－sin＝－cosx是偶函

18、数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin在(0，π)上是单调递减的．答案：C4．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是(　　)A．－1,3B．－1,1C．0,3D．0,1解析：∵－1≤cosx≤1，∴－1≤y≤3.答案：A类型一　正、余弦函数的单调性例1　(1)函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　)A.B．[－π，0]C.D.(2)函数y＝cos的单调递增区间是________．【解析】　(1)由≤x≤π，可得≤x＋≤π.所以是函数的一个减区间．(2)因为－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z.所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.【答案】　(1

19、)D　　(2)(k∈Z)(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x＋的范围，验证是否为减区间．(2)将2x－代入到[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z中，解出x的范围，即可得增区间．方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．(3)①ω<0时，一般用诱导

20、公式转化为－ω>0后求解；②若A<0，则单调性相反．跟踪训练1　(1)下列函数，在上是增函数的是(　　)A.y＝sinxB．y＝cosxC．y＝sin2xD．y＝cos2x(2)求函数y＝2sin的单调递增区间．解析：(1)因为y＝sinx与y＝cosx在上都是减函数，所以排除A，B.因为≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.(2)由y＝2sin，得y＝－2sin.∴要求函数y＝2sin的单调递增区间，只需求出函数y＝2sin的单调递减区间．令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之得＋kπ≤x≤＋kπ，

21、k∈Z.∴函数的单调递增区间为(k∈Z)．答案：(1)D　(2)(k∈Z)(1)逐个验证选项把不符合题意的排除．(2)首先利用诱导公式化简函数为y＝－2sin，再利用性质求增区间．类型二　比较三角函数值的大小例2　比较下列各组数的大小：(1)sin250°与sin260°；(2)cos与cos.【解析】　(1)∵函数y＝sinx在上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin250°>sin260°.(2)cos＝cos＝cos，cos＝cos2π－＝cos.∵函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，且0<<<π，∴cos>cos，∴cos>cos

22、.利用诱导公式，将角化到