2019_2020学年高中数学2.1.1合情推理（2）（含解析）新人教A版

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1、课时作业4　合情推理(2)知识点一　几何中的类比　　　　　　　　　　　　　　　1.在平面内，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__________．答案　1∶8解析　由平面和空间的知识，可知很多比值在平面中成平方关系，在空间中成立方关系．故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.2．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为________．答案

2、　＝解析　平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.故有＝.知识点二三角中的类比3.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积公式为(　　)A．S＝B．S＝C．S＝D．无法确定答案　C解析　扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝.知识点三类比的应用4.下面使用类比推理恰当的是(　　)A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”D

3、．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”答案　C解析　由实数运算的知识易得C项正确．5．利用类比推理，根据学过的平面向量的坐标表示，建立空间向量的坐标表示．解　平面向量的坐标表示：若i，j为平面直角坐标系中x轴，y轴的单位向量，a＝xi＋yj，则a＝(x，y)．类比可得空间向量的坐标表示：若i，j，k为空间直角坐标系中x轴，y轴，z轴的单位向量，b＝xi＋yj＋zk，则b＝(x，y，z).易错点类比不当或机械类比6.若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>

4、0，则数列dn＝________(n∈N*)也是等比数列．易错分析　本题易忽视商开方的情况，进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不能只从表象类比，否则就会产生机械性类比的错误．答案　解析　由等差、等比数列之间运算的相似特征知，“和积，商开方”，容易得出dn＝也是等比数列．一、选择题1．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是(　　)A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形答案　C解析　只有平行四边形与平行六面体较为接近．2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是(　　)①各棱长相等，同一顶点上的任两条

5、棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③答案　C解析　正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝(　　)A.B.C.D.答案　C解析　将△ABC的三条边长a

6、，b，c类比到四面体P－ABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝.4．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的直线方程为(　　)A.＋＋＝1B.＋＋＝1C.＋＋＝1D．ax＋by＋cz＝1答案　A解析　由类比推理可知，方程应为＋＋＝1.二、填空题5．若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，

7、n∈N*)，则am＋n＝.现已知数列{bn}(bn>0，n∈N*)为等比数列，且bm＝a，bn＝b(m≠n，m，n∈N*)，类比以上结论，可得到bm＋n＝________.答案　解析　等差数列中的除法与等比数列中的开方对应，等差数列中的乘法与等比数列中的乘方对应，所以bm＋n＝.类比是由特殊到特殊的推理，在运用类比推理时，其一般步骤为：首先，找出两类事物之间的相似性或一致性；然后，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．在近年的高考中屡有出