高考数学一轮复习专题9.8空间向量在空间几何体的运用（二）练习（含解析）

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1、9.8空间向量在空间几何体的运用（二）一．两条异面直线所成角的求法1.几何法（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）（2）图示2.向量法：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围[0，π]求法cosθ＝cosβ＝二．直线与平面所成角的求法1.几何法（1）线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角（2）图示2.向量法：设直线l的方

2、向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝

3、cosβ

4、＝.三．求二面角的大小1.几何法（1）定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角（2）图示2.向量法(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

5、cosθ

6、＝

7、cos〈n1，n2〉

8、，二面角的

9、平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．考向一线线角【例1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【答案】见证明【解析】(1)证明　如图所示，连结BD，设BD∩AC＝G，连结EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC

10、.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，AC，FG⊂平面AFC，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC所在直线为x轴、y轴，

11、

12、为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz，由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F，C(0，，0)，所

13、以＝(1，，)，＝.故cos〈，〉＝＝－.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.【举一反三】1．如图，正方体中，异面直线和所成角的大小为（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】连接，即为异面直线与所成角又即异面直线与所成角为：本题正确选项：2．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设棱长为1，，，由题意得：，，，又即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：考向二线面角【例2】.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝B

14、C＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB.(1)证明：MN∥平面PDC；(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明　因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD垂直平分线段AC.又∠ADC＝120°，所以MD＝AD＝，AM＝.所以AC＝.又AB＝BC＝，所以△ABC是等边三角形，所以BM＝，所以＝3，又因为PN＝PB，所以＝＝3，所以MN∥PD.又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.(2)因为PA⊥平面A

15、BCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，又BD⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.由(1)知MN∥PD，所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，故∠DPM即为所求的角．在Rt△PAD中，PD＝2，所以sin∠DPM＝＝＝，所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.【举一反三】1．如图，在几何体中，四边形为矩形，平面平面，平面，，为棱的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为平面

16、，所以，又，所以平面，又因为，所以平面，平面，所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，经计算可得，从而，所以在中，，又平面，所以平面.（Ⅱ）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，.∵，设平面的一个法向量则即消去得，不妨设，可得，又，设直线与平面所成角为，于是，故直线与平面所成角的正弦值为.2．如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，．（1）证明：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)见