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1、高考数学专题复习空间向量简单几何体练习题选择题1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为A,B,C,D,2夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为A,3:2:1B,2:3:1C,3:6:2D,6:8:33设二面角的大小是,P是二面角内的一点,
2、P点到的距离分别为1cm,2cm,则点P到棱的距离是A,B,C,D,ABCDEF4如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC的中点,且DEEF.若BC=,则此正三棱锥的体积是A,B,C,D,5棱长为的正八面体的外接球的体积是A,B,C,D,填空题6若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面的位置关系是.7若异面直线所原角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和平共处的两点,当时,线段AB的长为.8如图(1),在直四棱柱中,当底面四边形满足条件时,有C(
3、注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)ABCDABCD图(1)ABENM图(2)CDF9如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:①AB与EF所连直线平行;②AB与CD所在直线异面;③MN与BF所在直线成;④MN与CD所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为.(将所有正确的都写出)解答题10如图,在中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分别交AB,AC于D,E.将沿DE折起来使得A到,且为的二面角,求到直线BC的最小距离.ABOCDEOA11如图,已知矩形
4、ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.ABCDPQ参考答案:问题1(1)解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,有(1,0,1),B(1,1,0),(1,1,1),C(0,1,0)得,,设与所成的角为,则,又,得所以异面直线B与C所成的角的大小为.(2)设点M在B上,点N在C上,且MN是B与C的公垂线,令M,N,则由,得,解得,所以,得,即异面直线B与C之间的
5、距离为.(3)解:设平面CD的法向量为,而,由,,有,得,于是,设与所成的角为,则,又,有.所以直线B与平面CD所成的角为.(4)证明:由//C,C平面C,得//平面C,又BD//,平面C,得BD//平面C,而,于是平面BD//平面C.(5)证明:A(1,0,0),(0,1,1),,,有及,得,,,于是,直线A平面BD.(6)证明:由(5)知平面BD,而平面AB,得平面AB平面BD.(7)解:可得C=C==,有由,得,即,得所以点到平面的距离为.(8)解:由(3)得平面CD的法向量为=,它即为平面的
6、法向量.设平面的法向量为,则,又由,得,所以设与所成的角为,则所以二面角的大小为.问题2解:建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知A,B(0,0,0),C(0,2,0).又由面AC面ABC,且A=C,知点,,平面ABC的法向量.(1),得于是,侧棱和底面ABC所成的角的大小是.(2)设面AB的法向量,则由得,.于是,,又平面ABC的法向量,得,有.所以侧面AB和底面ABC所成二面角的大小是.(3)从点C向面AB引垂线,D为垂足,则所以点C到侧面AB的距离是.习题1过顶点A,V与高作一截面交BC于点M
7、,点O为正四面体的中心,为底面ABC的中心,设正四面体VABC的棱长为,则AM==VM,=,,,得在中,,即,得.则,有.选B.温馨提示:正四面体外接球的半径:内切球的半径=.2,选B.3设PA棱于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=,,则,得,有或(舍去),所以,选B.4由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.由对称性得,于是.,选B.5可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,外接球的体积,选D.6当时,AB//;当时,AB//或AB;当时,AB
8、//或与斜交.7由,得(1)当时,有,得;(2)当时,有,得.8ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)9将展开的平面图形还原为正方体,可得只②,④正确.10解:设的高AO交DE于点,令,由AO=,有,在中,,有得.当时,到直线BC的最小距离为6.11解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设,则Q,P(0,0,1),D得,由,有,得①若方程①有解,必为正数解,且小于.由,,得.(i)当时,BC上存在点Q,使PQQD;(ii)当时,BC上不存在点Q,使PQQD
