电子科技大学 泛函分析(江泽坚)作业题答案

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1、P46:第一章习题：1.验证dm,()满足距离定义。解：设xi，yi属于X，是数，dxy,supjj.j1(1)对j，有0，所以sup，dxy,0，jjjjj1且sup00，即dxy,0当且仅当xy.jjjjjjj1(2)dxy,supsupdyx,；jjjjjj11(3)设zidxz,supjjsup(jj)(jj)supjjsupjjdxy,dyz(,)j1j1j1j1综上(1

2、)，(2)，(3)，d,满足距离定义。3.试证明：在空间()s中的收敛等价于坐标收敛。()n(0)证：设xsn,1,2,，xs，nj0j()n(0)若xxn0，则必有limjj,j1,2,，n0n()nk(0)否则，jN，0，与正整数列的子序列kk1，使jj0,k1,2,，t因为ft()是单调递增，1t()nk(0)11jj0所以dx,x,k1,2,，nk02jj1()nk(0)21jj0这与dx,0x矛盾，nk0故()s中的收敛可推出坐标收敛。

3、()n(0)若limjj,j1,2,，则对j，0，NN0，nN0，n()n(0)，jj2()n(0)11jjdxxn,0jj()n(0),k1,2,，jj1121jj21由的任意性得dxx,0.n0故命题得证。4.证明：空间c是可分的。证：令s表示所有形如{,,rr,,,,}rrr的元素的集合，m为任意正整数，012mmmrj(1,2,m)是任意的有理数，所以s可数。j0故要证s在收敛序列空间c内是稠密，只需证明xc，s中序列x使00kk1dxx

4、(,)0。k对xc，x为收敛序列，所以对0，m，ij,m时，有.ij3()k()k当jm时，构造r使0，K，kK时有r，j00jjk13()k()k()k()k令xkr12,r,,rm,rm,，则对0，mk,，kK0恒有()k()k()kdxx(,)suprmaxsupr,suprkjjjjjjj11jmjm1()kmax,sup(r)mmmj3jm1max,333所以s在c中稠密，即c

5、可分。0p9.证明：lp(1)是完备的距离空间。()n()n()np证：设x(x,x,)是l中的Cauchy序列，则对任意0，存在N0，使得当12mn,N时，pp()m()n()m()npxiixxx.(1)pi1于是对每个固定的i，mn,N时，()m()n()m()nxxxx.iip()n()n这表明对每个固定的i，xi是Cauchy数列。因此xi收敛。设当n时n1()nxxn(1,2,).iip()n令x(,,).xx下面证明xl并且xx.由(1)式知道，对任意k1，当mn,N时，12kp()m(

6、)npxxii.i1在上式中固定nN时，先令m，再令k，得到p()npxxii.(2)i1()npp()n()np这表明xxl.由于l是线性空间，故xxxxl.而且式(2)还表明，当nN时()nxx.p()np因此xxn().故lp(1)是完备的。26.设T是从赋范线性空间X,到赋范线性空间Y,的有界线性算子，证明12TsupTxsupTx22xx1111证明：由Tx112TsupsupTxsupTx，x0xx0xx0x11212得TxTx22TsupTxsupTxs

7、upsupT，22x1x1x1,x0xxx011111故式中“”均可改为等号，命题得证。27.设T是Banach空间X上有界线性算子，如果存在X上有界线性算子S，使TSSTI，1则T是有界可逆的，而且TS.反之，如果T是有界可逆的，则11TTTTI.这里I是X上恒等算子，即Ixx,.xX证：(1)记RT()y

8、xX,使yTx，则T是从X到RT()的满射，若xx,X，使TxTxy，则由STI可得STxIxxSTx,.Ixx1212111222所以xx，所以T是