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《现代控制理论7.4 极大值原理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、Ch.7Ch.7Ch.7Ch.7最优控制原理目录(1/1)目录�7.1最优控制概述�7.2变分法�7.3变分法在最优控制中的应用�7.4极大值原理�7.5线性二次型最优控制�7.6动态规划与离散系统最优控制�7.7Matlab问题�本章小结极大值原理(1/4)7.47.4极大值原理�前一节讨论的最优控制问题都基于这样一个基本假定:�控制量u(t)的取值范围U不受任何限制,即控制域U充满整个r维控制空间,或者U是一个开集。�即控制量u(t)受等式条件约束�但是,大多数情况下控制量总是受限制的。�例如,控制
2、量可能受如下大小限制
3、ui(t)
4、≤ai=1,2…,r式中,a为常数。极大值原理(2/4)�上述约束条件即相当于容许控制空间U是一个超方体。�甚至,有些实际控制问题的控制量为某一孤立点集。�例如,继电器控制系统的控制输入限制为ui(t)=±ai=1,2…,r�一般情况下,总可以将控制量所受的约束用如下不等式来表示Mi(u(t),t)≤0,i=1,2,…�当控制变量u(t)受不等式约束条件限制时,古典变分法就无能为力了。�以后,还会看到,最优控制往往需要在闭集的边界上取值。�这就要求人们去探索新的理论和方
5、法。极大值原理(3/4)�应用古典变分法的另一个限制条件是要求函数L(x,u,t),f(x,u,t),S(x(tf),tf)对其自变量的连续可微性,特别是要求∂H/∂u存在。�因此,类似tfJ=∫
6、u(t)
7、dtt0这样的有较大实际意义的性能指标泛函就无能为力了。�所以,类似消耗燃料最小这类常见最优控制就无法用古典变分法来解决。极大值原理(4/4)�鉴于古典变分法的应用条件失之过严,引起了不少数学界和控制界学者的关注。�其中,贝尔曼的动态规划和庞特里亚金的极大值原理是较为成功的,应用也很广泛,成为解决最
8、优控制问题的有效工具。�本节主要介绍极大值原理的结论及其启发性证明。�讲授内容为�自由末端的极大值原理�极大值原理的证明�极大值原理的几种具体形式�约束条件的处理自由末端的极大值原理(1/8)7.4.1自由末端的极大值原理�最优控制问题的具体形式是多种多样的,在7.2节的讨论中可知,3种泛函问题(拉格朗日问题、波尔扎问题和麦耶尔问题)的表达形式可以互相转换。�因此,与前面的方法一致,我们先研究泛函为定常的末值型性能指标的最优控制问题(麦耶尔问题),然后将结论逐步推广至其他最优控制问题。�下面,就定常的末
9、值型性能指标、末态自由的控制问题来叙述极大值原理。自由末端的极大值原理(2/8)—定理7-9�定理7-9(极大值原理)设u(t)∈U,t∈[t0,tf],是一容许控制。�指定的末值型性能指标泛函为J[u(·)]=S(x(tf))式中,x(t)是定常的被控系统ẋ()t=fx((),()),tutx()t=x00相应于控制量u(t)的状态轨线,tf为未知的末态时刻。�设使该性能指标泛函极小的最优控制函数为u*(t)、最优状态轨线为x*(t)。�则必存在不恒为零的n维向量函数λ(t),使得1)λ(t)是方程
10、τ∂H∂f(x(t),u(t))λ̇(t)=−=−λ(t)∂x∂x自由末端的极大值原理(3/8)满足2)边界条件∂S(())xtfλ()t=f∂x()tf的解,其中哈密顿函数为τH(x(t),λ(t),u(t))=λ(t)f(x(t),u(t))3)则有***H(x(),(),tλtu())t=minH(x(),(),())tλtutu()t∈U即***H(x(t),λ(t),u(t))≤H(x(t),λ(t),u(t))∀t∈[t,t],∀u(t)∈U0f自由末端的极大值原理(4/8)4)沿最优轨线哈
11、密顿函数应满足*****⎧⎪H(x(),(),tλtu())t=0t自由**ffffH(x(),(),tλtu())t=⎨**⎪H(x(),(),tλtu(t))=常�t固定⎩ffff∆∆∆�下面先对上述极大值原理的涵义作简单的解释,再给出该定理的启发性证明。自由末端的极大值原理(5/8)1)容许控制条件的放宽。�古典变分法应用于最优控制问题,要求控制域U=Rn,即控制域U充满整个r维控制空间。�然后,从控制量的变分δu(t)的任意性出发,导出极值条件∂H/∂u=0。�这一条件是非常严格的。�其一,它要
12、求哈密顿函数H对控制量u(t)连续可微;�其二,它要求控制量的变分δu(t)具有任意性,即控制量u(t)不受限制,或仅在受等式约束条件限制的开集中取值。τ自由末端的极大值原理(6/8)̇∂H∂f((),())xtutλ()t=−=−λ()t(793)−∂x∂x∂S(())xtfλ()t=(794)−f∂x()tf***H(x(),(),tλtu())t=minH(x(),(),())(796)tλtut−u()t∈U2)定理7-9中的式(7
