模态与振动理论_第二讲

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1、第2章单自由度系统频响函数§2.1单自由度系统频响函数单自由度系统（SingleDegreeOfFreedom,SDOF）¢粘性阻尼(viscousdamping)系统运动方程f(t)mx(t)+cx(t)+kx(t)=f(t)(2.1)mx(t)©系统固有频率和阻尼比自由振动方程mx+cx+kx(t)=0kcλt特解为xt()=ϕe，代入上式，得特征方程2(m+λλϕc+k=0)解特征方程可得λ的两个根(复特征值)2010/3/12第2章单自由度系统频响函数§2.1单自由度系统频响函数¢粘性阻尼系统2ck4m−c2λω=−±j

2、j=−ξ±ω1−ξ=±σjω(2.2)1,200d22mmω=k(无阻尼固有频率undampednaturalfrequency)⎫0m⎪⎪复特征值实部（阻尼）σc()dampingratioξ=(2mω)阻尼比⎪复特征值虚部（阻尼固有频率）0⎬ωd2⎪ωωξ=−01(阻尼固有频率)λω＝0d⎪=−⎪σωξ()阻尼衰减系数0⎭易求得自由振动响应(通解)2()−ωξ0tjjtωξ01−σσttωdtsin()xt==AeeAee=Aeωt+θdA和θ是由初始条件确定的常数（）tx=0,,==xxx002010/3/12第2章单自由度系统频

3、响函数§2.1单自由度系统频响函数¢粘性阻尼系统©频响函数对（2.1）式取拉氏变换2(ms+cs+k)X(s)=F(s)(2.3)记Z(s)=ms2+cs+k➨动刚度则上式变为Z(s)X(s)=F(s)⎧传递函数X(s)11⎪=H(s)==2➨⎨动柔度F(s)Z(s)ms+cs+k⎪⎩位移导纳X(s)=H(s)F(s)2010/3/12第2章单自由度系统频响函数§2.1单自由度系统频响函数¢粘性阻尼系统©频响函数令ms2+cs+k=0，可得到系统极点2sj=σ±=ωω−±−ξωξj11,2d00可见：系统极点之实部表示系统阻尼特性系统极点之

4、虚部表示系统之固有振动频率⎧⎫X(s)定义⎪⎪H(s)=⎯⎯→位移导纳dF(s)⎪⎪⎪⎪⎪⎪X(s)⎨⎬H(s)=⎯⎯→速度导纳关系？v⎪⎪F(s)⎪⎪X(s)⎪⎪H(s)=a⎯⎯→加速度导纳常用⎪⎪⎩⎭F(s)2010/3/12第2章单自由度系统频响函数§2.1单自由度系统频响函数¢粘性阻尼(viscousdamping)系统©频响函数频响函数1H(jω)＝2(km-+ω)jcω11＝2k(1-+ω)j2ξω11＝−(2.4)211mω(1--)j2ξ2ωωωω=为频率比ω02010/3/12第2章单自由度系统频响函数§2.1单自由

5、度系统频响函数¢结构阻尼（滞后阻尼）系统Structuraldamping(Hysteresticdamping)⎧周围介质阻尼⎪实际系统之阻尼主要分为⎨结构内摩擦阻尼⎪接合面摩擦阻尼⎩对于结构阻尼，阻尼力与位移成正比（超前90度），与速度方向相反，即f=jgx(t)dg=ηk（2.5）g——结构阻尼系数，与刚度成正比η——结构损耗因子（无量纲）（lossfactor）2010/3/12第2章单自由度系统频响函数§2.1单自由度系统频响函数¢结构阻尼（滞后阻尼）系统运动方程mx(t)+kx(t)+jkx(t)=f(t)η(2.6)mx(

6、t)+(1+j)kx(t)=f(t)η(2.7)∗记k=(1+j)kη➨复刚度1传递函数H(s)=(2.8)2ms+(1+j)kη111频响函数H(j)ω==(2.9)22-+m(ωη1+j)k1k-+ωjη粘性阻尼频响函数中的2ξω⎯⎯→η，便得到结构阻尼频响函数2010/3/12第2章单自由度系统频响函数§2.2频响函数特性分析¢幅频图与相频图∑频响函数幅值11Hj(ω)=(2.10)k222(1−+ωξ)()2ω∑频响函数相角IH()ωξ⎛⎞2ωϕω()==arctan()−arctan⎜⎟(2.11)R2H()ωω⎝⎠1−1讨论

7、•当，ωωω=/10⇒≈,(Hω),ϕω()≈00k系统处于静态，外力主要由弹簧力平衡，动刚度接近静刚度2⎛⎞()−++ωωωωmjckX()=F()⎜⎟⎝⎠Xj()ωωω=H()()iF()Fk()ωω=X()2010/3/12第2章单自由度系统频响函数§2.2频响函数特性分析¢幅频图与相频图10•当，ωωω=⇒/1∞≈≈,H()ω,()ϕω−18002mω2外力主要由惯性力平衡(Fj()ω≈−mXωωi()j)•当，ωωω=≈→/1(ωω=k)00m幅值达到最大，系统共振（）X(ω)=H(ω)F(ω)110H()ωϕ=≈,()90

8、ω−Max2kcξω0⎧共振状态下，外力主要与阻尼力平衡，惯性力弹性力≈⎪2（）⎪jωcF(j≈≈ω)(-ωm+k)X(jω)0⎨⎪阻尼ξ2/，共振峰值，变化陡⎪⎩阻尼比大，共振