模态与振动理论_第三讲.pdf

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1、第3章多自由度系统传递函数（频响函数）分析§3.1传递函数矩阵多自由度线性系统（设n个输入，n个输出，MIMO），其运动方程为⎡⎤⎣⎦M{x(t)+C}⎡⎤⎣⎦{x(t)+K}⎡⎤⎣⎦{x(t)=f(t)}{}(3.1)两边取拉氏变换2()⎡⎤⎣⎦Ms+Cs+KX(s)=F(s)⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦{}{}(3.2)记为⎡⎤⎣⎦Z(s){X(s)=F(s)}{}2⎡⎤⎡⎤⎡⎣⎦⎣⎦⎣Z(s)=(Ms+C⎤⎡⎤⎦⎣⎦s+K)➨动刚度矩阵(3.3)或　{X(s)=}⎡⎤⎣⎦H(s){F(s)}(3.4)−1⎡⎣H(s)=⎤⎡⎤

2、⎦⎣⎦Z(s)➨系统的传递函数矩阵2010/3/20范子杰:模态分析理论与试验-1第3章多自由度系统传递函数（频响函数）分析§3.1传递函数矩阵Fs()→→Xs()展开(3.4)式，可得的各分量（即各输11Fs()→→Xs()出点的位移响应），如第l个响应2⎡Hs()⎤2X(s)=HF(s)+HF(s)+"+HF(s)##⎣⎦nn×##ll11l22lnnnFs()→→Xs()nn=∑HsFslp()()i"p(1,2,,)l=n(3.5)p=1MIMO系统传递特性式中H(s)为[H(s)]的第l行第p列元素lp若系统为单输

3、入（如：仅在第p个自由度施加激振力）⎧⎫Xs1()⎧⎫0⎪⎪⎪⎪Xs()0⎪⎪2⎪⎪⎪⎪#⎪⎪#⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Xsl−1()0⎨⎬⎨⎬=[]Hs()(3.6)Xs()Fs()⎪⎪⎪⎪lp⎪⎪⎪⎪Xs()0l+1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪##⎪⎪⎪⎪⎩⎭Xs()⎩⎭0MISO系统传递特性n2010/3/20范子杰:模态分析理论与试验-2第3章多自由度系统传递函数（频响函数）分析§3.1传递函数矩阵X(s)=H(s)F(s)i"(l=1,2,n)(3.7)llpp由(3.7)式H(s)=X(s)F(s)(l,p=1,2,"n)(3.8)

4、lplp⎧⎪H(s)为(原点导纳当p=l)pp称Hs()=⎨lp⎪H(s)为(跨点导纳当pl≠)⎩lp由线弹性体的互易定理HsHs()=()(3.9)lpplX(s)X(s)lp=F(s)F(s)plSIMO系统传递特性因此[H(s)]为对称矩阵nXn思考：如何获取系统的⎧⎪•单输入多输出求[H]的每个元素⎨传递函数矩阵??⎪⎩•多输入同时作求[]H??2010/3/20范子杰:模态分析理论与试验-3第3章多自由度系统传递函数（频响函数）分析§3.2MIMO传递函数特性分析¢MIMO传递函数一般表达式(与系统参数关系)对于M

5、IMO系统，其传递函数矩阵[H(s)]可表示为（由动刚度矩阵求逆）2−1adjMs([][][]++CsK)[]Hs()==[]Zs()2det[()M]sC++[]sK[]矩阵[Z(s)]的行列式值矩阵[Z(s)]的伴随矩阵adj([M]s2+[C]s+[K])矩阵的第l行第p列元素是[Z(s)]的第p行第l列元素Zpl(s)的代数余子式，它为s的2n-2次多项式，则得有理多项式分式表示的H(s)lp22mm−1bs++bs"bsb+Hs()==22mm−110(mn−1)(3.10a)lp22nn−1as++as"asa

6、+22nn−1101比较：单自由度系统的传递函数H(s)=2ms+cs+k系数a,…a；b,…b是与系统参数[M]、[C]、[K]有关的参数02n02m2010/3/20范子杰:模态分析理论与试验-4第3章多自由度系统传递函数（频响函数）分析§3.2MIMO传递函数特性分析¢传递函数的零点和极点及其留数将(3.10a)式的分子分母分解因式，得到极点和零点表示的H(s)lp()szsz−()−−"()szHsC()=122m(3.10b)lp()ssss−−()"()ss−122nM∏()sz−j⎧M=2mj=1=CN⎨⎩Nn

7、=2∏()ss−ii=1式中：s——传递函数极点；z——传递函数零点ij因多项式系数均为实数，s或z只能为实数或共轭复数ij令s=jω2010/3/20范子杰:模态分析理论与试验-5第3章多自由度系统传递函数（频响函数）分析§3.2MIMO传递函数特性分析¢传递函数的零点和极点及其留数思考：如何求得s和z??ij⎧⎪•s可令(3.10)a分母多项式为零求得i⎨⎪•z可令(3.10)a分子多项式为零求得⎩j由部分分式展开(3.10)式可分解为极点和留数表示的H(s)!lpAAAA2nHs()=++12"+=2nr∑lps−ss

8、s12−−−ss2nrr=1ss式中A称为H(s)在极点s处的留数rlpr2010/3/20范子杰:模态分析理论与试验-6第3章多自由度系统传递函数（频响函数）分析ò作业1对单自由度系统H(s)=2ms+cs+k2令ms2+cs+k=0，求得极点sj=−±ωξωξ1−1,200⎧∗ss=⎪