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1、28物理与工程Vol.17No.22007椭球体转动惯量的计算赵新闻杨兵初黄生祥(中南大学物理科学与技术学院,湖南长沙410075)(收稿日期:20061022)摘要用分步计算和广义球面坐标变换两种方法对椭球体绕对称轴旋转的转动惯量进行了计算,计算表明,后一种方法简单、实用,在工程实际中有应用价值.关键词椭球体;转动惯量;广义球面坐标变换CALCULATIONOFTHEROTARYINERTIAOFELLIPSOIDZhaoXinwenYangBingchuHuangShe
2、ngxiang(SchoolofPhysicsScienceandTechnology,CentralSouthUniversity,Changsha,Hunan410075)AbstractTherotaryinertiaofanellipsoidrotatingaroundthesymmetryaxisiscalculatedbyuseofthedividedcalculationandtheextensivesphericalcoordinatetransformation.Itisind
3、icatedthatthesecondmethodissimpleandpracticalinengineeringcalculation.KeyWordsellipsoid;rotaryinertia;extensivesphericalcoordinatetransformation22xy2+2=1(1)AB1引言则该薄板绕过O且垂直板面的轴的转动惯量为现行大学物理教材[1~3]对圆柱体、球体等绕2222IZ1=(x+y)dm=(x+y)dxdy(2)ss各种对称轴旋转的转动惯量大小
4、都已列出,但对222由式(1)得xyz曲面方程为2+2+2=1的椭球体绕对称轴旋2abcyx=A1-2B转的转动惯量大小尚未发现有教材列出,现介绍y2两种求解方法,和同行们交流.BA1-2B22IZ1=dy2(x+y)dx!-B!-A1-y2B2转动惯量的计算B2323y=A1-2dy+3!-BBB2方法1分步计算法2y2Ay1-2dy!-BB(1)先计算椭圆形薄板绕通过中心且垂直板y面的轴的转动惯量.如图1所示,设椭圆形薄板质令=u,由文献[4]式(84)和式(86)得B量
5、为m,质量均匀分布;质量面密度为;长、短轴B2322半径分别为A、B,椭圆方程为yyyy1-2dy=B5-21-+!-BB8BBBB3y3arcsin=B8B-B8B2222y3yyyy1-2dy=B2-11-+!-BB8BBB图129物理与工程Vol.17No.22007B1y134arcsin=BM=V=abc8B-B8323313122IZ1=AB+2ABIz=M(a+b)(5)3885122方法2用广义球面坐标变换直接积分求解=AB(A+B)4已知条件如图
6、2所示,由转动惯量定义,可得由文献[5],椭圆的面积S=AB椭球体绕z轴转动惯量122IZ1=m(A+B)(3)I224z=(x+y)dV(6)V(2)再计算椭球体绕对称轴(如z轴)的转动作广义球面坐标变换[7]惯量.如图2所示,设椭球体的三个轴的半径分别x=arsin!cos∀为a、b、c,则其曲面方程为y=brsin!sin∀(7)222xyzz=crcos!2+2+2=1(4)abc其中r∀0,0#∀#2,0#!#[7]变量替换后的体积元变为2dV=abcrsin!d!drd∀(
7、8)椭球面方程变为2r=1(9)将式(7)、(8)、(9)代入式(6)得2222Iz=(acos∀+bsin∀)∃V222rsin!abcrsin!d!drd∀12432222图2=abcrdrsin!d!(acos∀+bsin∀)d∀!0!0!0容易求得椭球体质量为M,质量均匀分布;质量体密度为;34sin!d!=将椭球体用垂直于z轴的平面分成许多厚度为dz!032的椭圆形薄板,对离中心O距离为z的薄板,其对222222(acos∀+bsin∀)d∀=(a+b)!0应椭圆方程为
8、22I1422xyz=abc∃(a+b)2+2=1532z2za1-2b1-2422cc=(a+b)abc15由式(3)可得该薄板对z轴转动惯量12222=M(a+b)(10)2251zzdIz=dMa1-2+b1-24cc同理,可求得椭球体绕x轴和y轴转动惯量22分别为zz而dM=sdz=a1-2b1-2dzcc22122Ix=(y+z)dV=M(b+c)(11)225122zVdIz=ab(a+b)1-2dz4cI22122y=(x+z)dV=
