数学物理方法第一章作业答案

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1、第一章复变函数§1.1复数与复数运算1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？（1）z≤2解：以原点为心，2为半径的圆内，包括圆周。（2）z−a=z−b，（a、b为复常数）解：点z到定点a和b的距离相等的各点集合，即a和b点连线的垂直平分线。（3）Rez＞1/2解：直线x=1/2右半部分，不包括该直线。（4）z+Rez≤12222解：即x+y+x≤1，则x≤1，y≤1−2x，即抛物线y=1−2x及其内部。（5）α＜argz＜β，a＜Rez＜b，（α、β、a、b为实常数）解：z−iπ（6）0

2、y+1)z−iπ因为0022x+(y+1)22x+y−1所以>0，即x<0,x2+y2−1+2x>022x+(y+1)−2x22x+(y+1)0<<122x+y−122x+(y+1)22综上所述，可知z为左半平面x<0，但除去圆x+y−1+2x=0及其内部z-1（7）≤1,z+12⎡22⎤2z-1x−1+iyx+y−14y解：==⎢22⎥+222z+1x+1+iy⎣()x+1+y⎦[]()x+1+y2222222所以()x+y−1+4y≤[]()x+1+y化简可得x≥0（8）Re(1/z)=2⎛1⎞⎡x−iy⎤x解：Re(1/z)

3、=Re⎜⎜⎟⎟=Re⎢22⎥=22=2⎝x+iy⎠⎣x+y⎦x+y22即()x−1/4+y=1/1622(9)ReZ=a2222解：ReZ=x−y=a2222(10)z+z+z−z=2z+2z12121222222222解：()x+x+()y+y+()x−x+(y−y)=2(x+y)+2(x+y)121212121122可见，该公式任意时刻均成立。2、把下列复数用代数式、三角式和指数式几种形式表示出来。iπ/2（1）i=cos()()π/2+isinπ/2=eiπ（2）-1=cosπ+isinπ=eiπ/3ππ（3）1+i3=2e=2cos+isin332

4、ααα（4）1−cosα+isinα（α是实常数）=2sin+i2sincos222π−αααααπ−απ−ααi=2sin(sin+icos)=2sin(cos+isin)=2sine2222222233322333i3ϕ（5）z=(x+iy)=x−3xy+(3xy−y)i=ρ(cos3ϕ+isin3ϕ)=ρe1+ii（6）e=ee=e(cos1+isin1)i3π/2（7）()1−i/()1+i=−i=cos()3π/2+isin(3π/2)=e3、计算下列数值。（a、b、φ为实常数）（1）a+ib22解：由公式1.1.19知，原式等于a+b()cos

5、θ/2+isinθ/2()()basinθ=2sinθ/2cosθ/2=1+a2+b222()a+bcosθ/2=2()a2cosθ=1−2sinθ/2=，因此可得22a+ba1−θ∈[]0,2πa2+b2sin(θ/2)=2原式=2⎡()221/2()221/2⎤a+b+a+ia+b−a2⎢⎣⎥⎦3i(π/2+2kπ1/3i(π/6+2kπ/3)（2）i=(e)=eii(π/2+2kπi−(π/2+2kπ)（3）i=(e)=eπi(+2kπ)（4）ii=(e2)1/i=eπ/2+2kπ（5）cos5ϕ，（6）sin5ϕ5解：cos5ϕ+isin5ϕ=(c

6、osϕ+isinϕ)4322345=cos5ϕ+i5cosϕsinϕ−10cosϕsinϕ−i10cosϕsinϕ+5cosϕsinϕ+isinϕ3244235=(cos5ϕ−10cosϕsinϕ+5cosϕsinϕ)+i(5cosϕsinϕ−10cosϕsinϕ+sinϕ)324因此，（5）=cos5ϕ−10cosϕsinϕ+5cosϕsinϕ，4235（6）=5cosϕsinϕ−10cosϕsinϕ+sinϕ（7）cosϕ+cos2ϕ+cos3ϕ+...+cosnϕ，（8）sinϕ+sin2ϕ+sin3ϕ+...+sinnϕ解：)(cosϕ+cos2ϕ

7、+L+cosnϕ)+i(sinϕ+sin2ϕ+L+sinnϕ=)(cosϕ+isinϕ)+(cos2ϕ+isin2ϕ)+L+(cosnϕ+isinnϕiϕ[inϕ]iϕi2ϕinϕe1−e=e+e+L+e=iϕ1−eiϕ[inϕ]−iϕiϕinϕi(n+1)ϕe1−e(1−e)e+e−e−1==iϕ−iϕ()iϕ−iϕ(1−e)(1−e)2−e−ecosϕ+cosnϕ−cos()n+1ϕ−1sinϕ+sinnϕ−sin(n+1)ϕ=+i2()1−cosϕ2()1−cosϕϕϕsin()n+1/2ϕ−sincos−cos()n+1/2ϕ=2+i2ϕϕ2sin

8、2sin22ϕϕsin()n+1/2ϕ−sincos−cos()n