力学碰撞中恢复系数的一般表达式

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1、广西物理第25卷第2期Vol.25No.22004GUANGXIWULI力学碰撞中恢复系数的一般表达式覃铭(右江民族师范高等专科学校物理与电子信息科学系,广西百色533000)摘要:从一维正碰着手,应用质点动量定律,推导出力学碰撞问题中恢复系数的一般表达式,为正确理解恢复系数,解决与此相关的问题提供理论支持。关键词:碰撞;恢复系数;冲量;动能损失中图分类号:O31314文献标识码:A文章编号:1003-7551(2004)02-0032-041引言恢复系数在力学中是一个重要的物理量。然而,在力学教科书中所介绍的有关两体碰撞的恢复系数,都是介

2、绍简单的一维对心碰撞的情况,即两小球碰撞前的速度在两球的中心连线上,碰撞后的速度也都在[1]这一连线上。例如,两球质量分别为m1和m2,并且已知碰撞前两球的速度分别为v1和v2,碰撞时m1对m2的冲量为J,m2对m1的冲量为Jc,而碰撞后的速度分别为vc1和vc2。如图1所示。图1一维正碰vc2-vc1而恢复系数定义为e=(1)v2-v1式中,vc2-vc1称为分离速度,v2-v1称为接近速度,故式(1)称为分离速度与接近速度之比。而在实际问题中,我们常遇到更为复杂的,如二维斜碰的情况,如图2所示。图2二维斜碰*新世纪广西高等教育教学改革工

3、程资助项目(B147)**收稿日期:2004-03-0632第2期力学碰撞中恢复系数的一般表达式此时应用式(1)解决此类问题可能会遇到这样的困惑,碰前和碰后速度在冲量J的方向和垂直J的方向上都有投影,如何确定分离速度和接近速度呢?是否存在两个恢复系数呢?本文的目的就是要找到一个解决力学碰撞问题中恢复系数的一般表达式。2恢复系数的推导考察质量分别为m1和m2两个物体(质点)A和B的碰撞情况,如图2所示。碰撞过程中A给与B的冲量为J,B给A的冲量为Jc。碰撞前,A与B的速度分别为v1和v2,碰撞后的速度分别为vc1和vc2。对于A与B的碰撞过程

4、,根据质点动量定理对A有m1vc1-m1v1=F#dt=Jc(2)对B有m2vc2-m2v2=Fc#dt=J(3)其中J=-Jc(4)碰撞中两物体的动能的损失为:12121212$E=m1v1+m2v2-m1vc1+m2vc2222211$E=m1(v1-vc1)#(v1+vc1)+m2(v2-vc2)#(v2+vc2)(5)22将式(2)、(3)、(4)代入式(5)得:11$E=J#(v1+vc1)+(-J)#(v2+vc2)221=J#[(vc1-vc2)+(v1-v2)]21=J[(vc1J-vc2J)+(v1J-v2J)]21vc2

5、J-vc1J=J(v1J-v2J)1-(6)2v1J-v2J其中,v1J-v2J是点A与点B在碰撞前沿碰撞冲量J方向的接近速度,vc2J-vc1J是它们在碰撞后沿冲量方向的分离速度。令vc2J-vc1Je=(7)v1J-v2J将式(7)代入式(6)得:1$E=J(v1J-v2J)(1-e)(8)2对于任何碰撞过程均有:$EE0即1$E=J(v1J-v2J)(1-e)E0(9)2又因为A或B受到的冲量的大小总是大于或等于零,即JE0(10)且v1J-v2J>0(否则碰撞将不会发生)(11)将(10)、(11)代入(9)式得:(1-e)E0即e

6、F1(说明e值不能大于1)(12)33广西物理第25卷第2期Vol.25No.22004GUANGXIWULI讨论:(1)当e=1时,$E=0,即碰撞前后两物体总动能保持不变,表示物体作完全弹性碰撞。(2)当1e=0时,vc2J-vc1J=0,$E=J(v1J-v2J)>0,即碰撞后两物体的速度一致,表示物体作完全非弹性碰21撞,此时物体的总动能部分损失。(3)当0

7、也反映了碰后与碰前速度的恢复程度)故称之为恢复系数。由恢复系数e的推导过程可知,对于两个光滑均质的平动球斜碰的情形,式(7)表示两球碰后沿冲量方向的分离速度与碰前沿冲量方向的接近之比;与其它方向的速度无关,而且只有一个恢复系数。对于两个光滑均质的平动球正碰的情形,由于J与两球碰撞前后的速度的方向一致,此时式(7)脚标J可去掉,式(7)变为式(1)。即式(1)是式(7)的特殊情况。式(7)就是我们所要求证的恢复系数的一般表达式。3应用举例311二维斜碰问题一钢球从高为H的位置自由落下,碰到倾角为15b的斜面后向右上方弹跳出去。如图3所示,设H

8、=1.6m,碰撞的恢复系数为0160,求钢球弹跳出去以后所能达到的最大高度h。计算时认为斜面刚性固[2]定,不计空气阻力。取坐标系如图3所示,设小球与斜面碰前的速度的大小为v0,