2、两类有唯一不动点,则f(x)也有唯一不动点.问题常常与不动点结合,不乏活泼美妙的考题,值得证明设x。是f(f(x))的唯一不动点,即f(f我们注意.(x。))二xo.,函数迭代中的不变性质存在性.令f(x。)二t,则f(t)=x。f(,f(:))=:,由f例1(208年上海交大)已知函数f(:卜。,+拭二)不动点的唯一性知t二x。f(,x。)二x0·b:十。(a尹。),且f(x)二x没有实数根.问:f(f(x))=x唯一性设f(:)=,(:尹x。),则f(f(:))二f(,)二是否有实数根?并证明你的结论.:,与x。的唯一性矛盾,故f(x)也有唯一不动点.解法1判别式验证.例2若f(x
3、)为严格递增函数,f(x)的定义域f(二)一二=ax,+(b一l)二+c=0无实根,则■=(b-包含其值域,则对某个x。fn,(x。)二x0叼丈x。)二x。.l)'一4ac<0.由f(f(二))=x,有证明充分性显然成立.反证必要性.若f(x。)>。(。2+6二+。)2+6(。,+bx+。)+e一x=0,整理得,x。,因为f(x)严格递增,所以x。fn(x。),均与fn(x。)。Cax,+(b一l):+。了〔ax,+(6+1)二
4、+。」+(1+6)二x。矛盾.所以f(x。)二xo.[axZ+(乙一1)x+ej=0,练习2(2010年浙江大学)设M=(xIf(x)=aZxZ+a(b+l)x+b+ac+l=O,x},厅=卜If(f(x))=x}.■2=。,(6+l)2一4az(6+ac+一)(一)求证:M二N;=。,[(6一l)'一4ac一4〕<一4a,二f(,f(二))二二4+3x,+4+x,+2>二,结论应是无实根.再用反练习3解方程:x证法.(令f(二卜丫丁石,则原方程为x
5、=f.(x),x=f(二)设f(f(x。))=x。,令f(x。)=t尹x。,则f(t)=x。,的解为x=2,利用例2证其唯一性.)点(x。,t)与(t,x。)关于y=二对称且都在y=f(x)上.y2分式线性递推关系胡x)与y=x必有交点,从而f(x)=x必有实数根,aa_+b矛盾.如果递归数列风}满足an一二减石,其中·`解法3不等关系迭代.O,ad一bc尹o以及初始值a,笋f(a,),则称此数列为若a>0,则f(x)>x恒成立,分式线性递推数列;称方程__x=邸二共+b的二根_为.该_、_数~列的于是.尺八x))>f(x)>x;`'一、一”一一`~~一`'“一'一cx+d一`'r一/
6、`'`'~~`一`若a7、a一C口=—只a一岭a。节练习5(自编)数列a。满足an+;_一a一一一。+b,二,、n_一can+以所以婴一=一1,,a,.户。_一Z—a)、·a一甲0,l,2……、__ax+b二_,___.,a尹为特征万程x二〔丁沉下,.万肠的两个小等的一2a),。作者简介凌明灿(1990一),男,广东高州人,在读研根.证明:若a。的周期为2(。n,、尹a。),则a明二究生.研究方向为竞赛数学,初等数学.男m(简解若a。的周期为2(a。+,尹a,。担`坚飞
