“不动点”问题的解题思路

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1、维普资讯http://www.cqvip.com高中数学教与学2oo3牟。解题思路与方法o“不动点”问题的解题思路王勇(湖北省襄樊市第一中学，441000)纵观近年全国各省市高考数学模拟试若c∈R，使f(c)=c，则称c是f(z)的一个题，“不动点”问题悄然兴起．这类问题通常以不动点．设f(z)的不动点数目是有限多个．“不动点”为载体，将函数、数列、不等式、方下述命题是否正确?若正确，请给予证明；若程、解析几何等知识有机地交汇在一起，因而不正确，请举一个例子说明．极富思考性和挑战性．下面笔者精选出5道典(1)f(z)是奇函数，则f(x)的不动点数型例题并予深刻剖

2、析，旨在探索题型规律，揭目是奇数；示解题方法．(2)厂(z)是偶函数，则f(x)的不动点数例1对于任意定义在区间D上的函数目是偶数．f(x)，若实数z0∈D满足f(z0)=z0，则称分析与解由不动点定义可知，函数z0为函数厂(z)在D上的一个不动点．f(x)的不动点个数就是函数Y=f(x)与Y．1：z的图象交点的个数。我们不妨先考虑特殊(1)求函数厂()：=2x+一2在(0，函数Y=z，显然Y=z与Y=z的图象有+oo)上的不动点；三个交点，因而猜想(1)可能正确．1(2)若函数厂()=2x++n在(0，现将(1)证明如下：‘+oo)上没有不动点，求a的取值范围

3、．．‘厂(z)为奇函数，且z∈R，’．．f(一0)=一f(O)，即f(O)=0．1分析与解(1)设320是f(x)=2x+1因此，0是f(x)的一个不动点．1假设c≠0是厂(32)的不动点，则厂(c)=—2在(0，+oo)上的不动点，则2zn+一2．2E0c．又因为厂(z)为奇函数，所以厂(一c)=1=z0，解得320=1，即1是f(x)=2x+÷一一f(c)=一c．因此一c也是f(x)的不动点．显然c≠2在(0，+oo)上的不动点．一c，这表明如果存在f(x)的非零不动点，则1(2)设厂(32)=2x++n=z在(0，必成对．+oo)上有解，于是方程z+甜+1

4、=0有解，又因厂(z)只有有限个不动点，因此从而△=“一4≥0，“≥2或a≤一2．f(z)的不动点数目为奇数．当n≥2时，方程的两根都是负数；猜想(2)不正确．当a≤一2时，方程的两根都是正数．例如，f(z)=1是偶函数，设c是f(x)=因此，当且仅当a：_≤一2时，f(z)在(0，1的不动点，则一方面厂(c)=c，另一方面+oo)上有不动点．f(c)=1，由此得c=1．因此f(z)=1有且于是，厂()在(0，}oo)上没有不动点只有一个不动点．故命题不正确．时，a>一2．例3已知函数厂(z)=6x一6x2，记函例2设函数y=f(x)的定义域是R，数gl(32)

5、=厂(z)，g2(z)=fEg1(z)]，g3(z)·12·维普资讯http://www.cqvip.com第9期=[g2(z)]，⋯，g()=[gl()．⋯(1)求证：如果存在一个实数，满足gl(0)=0，那么对一切∈N，g(0)=都成立；(2)若实数．7C()满足g((】)=．7C0，则称o为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；(3)考察区间A=(一oo，0)，以任意实数∈A，有gl()=厂()=＆<0，g!()=figl(j)]=／’(＆)<0，且≥2时，g(r)<0．试问是否存在区问B(AnB=)，对于区间B内的任意实数，只要≥2，都有g()<0．分析

6、与解(1)当=1时，gl(0)=0是已知条件，结论成立．假设当=是时，结论成立，即(0)=0(是∈N)，则+l(0)=-，’[(0)]=f(．0)=gl(0)=0．所以对一切∈N，若gI(0)=0，则g(0)=0．(2)由(1)知，稳定不动点只需满足l厂(X0)=X0．由此有60—6x6=0，解得X00或詈．所以厂()的稳定不动点为0和．(3)厂()<0㈢6一6<0㈢<0或>1，‘．()1，要使对一切∈N，≥2，都有g()<0，必须有gl()<0或gl()>1．由gl()<0，得6x一6x<0，解得<0或>1．

7、由gl()>1，得6一6>1，解得<<．nn故对于区间(，)，+oo)维普资讯http://www.cqvip.com