专题1：函数的零点、不动点、稳定点.doc

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1、奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点一、基本知识1.满足f(x)=0的x的值叫做函数f(x)的零点2.满足f(x)=x的x的值叫做函数f(x)的不动点3.满足f(f(x))=x的x的值叫做函数f(x)的稳定点4.若函数f(x)=ax+b(的不动点为，则函数f(x)可写成f(x)=a，,,此定理即：若是f(x)的不动点，则是(x)的不动点二、例题选讲1.设,如果A中只含有一个元素,则有（）AABCD2.设，若方程无实根，则方程（）A.有四个相异实根B.有两个相异实根C.有一个实根D.无实根3.已知

2、满足。（1）求的取值范围；（2）证明方程有两个不等实根；（3）图像与轴交于A、B两点，求。4.已知的图像上有两个点满足．（1）求证：；（2）求方程的另一根的取值范围；（3）求证：中至少有一个为正数．5.对于函数，若，则称为的不动点；若，则称为的稳定点；函数的不动点和稳定点的集合分别是A、B，即。（1）求证：；（2）若，且，求实数的取值范围。6.设的两个不动点为满足。（1）当时，证明：；（2）设函数的图像关于对称，证明：7.已知的两个零点为，的两个不动点为。（1）若，且均为负整数，求；（2）若，求证

3、：8.设是正整数，关于x的一元二次方程的两实数根的绝对值均小于，求的最小值。9.已知实系数二次函数与满足和都有双重实根,如果已知有两个不同的实根,求证没有实根.10.设二次函数在上至少有一个零点，求的最小值。11.已知二次函数在与轴有两个不同的交点，求的取值范围。12.已知函数。若对任意实数，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围。13.已知函数，若(x)为正整数，求x的最小值。14.若，求15.（第24届IMO）已知且满足条件：（1）对任意的x,y，有；（2）时，试求函数.16.(第35届IMO

4、）设S是所有大于-1的实数组成的集合，确定所有的函数f:SS，满足条件:（1）对于S内所有的x,y有f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)；（2）在区间(-1,0)和(0,+)内，是严格单调递增的.