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1、关于多维正态分布（共7页）关于多维正态分布n定义设μ∈R，Σ是n阶实对称正定方阵，称n维随机向量X服从正态分布N(,μΣ)，如果X有以下形式的联合概率密度函数11⎛⎞−1fx()=−exp⎜⎟(x−μ)'(Σx−μ)X(2)det()πnΣ⎝⎠2教材相关内容：第180页例3.4.12。n=2的情形，第141页二元正态分布。性质1：（正态分布在可逆仿射变换下仍是正态分布）设n维随机向量nXN∼(,)μΣ，A是n阶实数可逆方阵，b∈R。则YA=Xb++∼N(,AbAAμΣ′)。证明：注意到−1−1x=−AYb()，x−μμ=−AYAb()−，2det(AAΣ=')det()det(
2、)det(')A⋅Σ⋅A=Σ⋅det()det()A所以，fyf()=()yYAX+b−11=−fAyb(())×X
3、det
4、A11⎛⎞−−11−11=−exp⎜⎟(Ayb(−)−μμ)'Σ(Ayb(−)−)×(2)detπnΣ⎝⎠2
5、detA
6、11⎛⎞−1=−exp⎜⎟(ybAAAybA−−μμ)'(Σ')(−−)(2)det(πnAAΣ')⎝⎠2故YA=+XbNAbAA∼(,μ+Σ′)。教材相关内容：第162页例3.3.9。1关于多维正态分布（共7页）性质2：（具有独立分量的正态分布随机向量，边缘分布）设⎛⎞X⎛⎞⎛⎞μ⎛Σ0⎞1111XN=⎜⎟∼⎜⎟⎜⎟,⎜⎟⎝⎠X⎝⎠μ
7、⎝0Σ⎠22⎝⎠22其中X是n维随机向量，X是n维随机向量，X是n维随机向量；μ∈Rni，Σ1122iii是n阶实数矩阵，i=1,2。则Σ是对称正定矩阵，X与X独立，并且iii12XN∼(,μΣ)，i=1,2。iiii证明：1、易见Σ是对称矩阵，i=1,2。ii⎛⎞Σ0⎛⎞x111xxx′′Σ=()00⎜⎟⎜⎟≥11111⎝⎠0Σ⎝⎠022'而且xxΣ=0当且仅当x=0。因此Σ是对称正定矩阵。类似可证Σ是对称正111111122定矩阵。2、对⎛⎞Σ011Σ=⎜⎟，⎝⎠0Σ22自然有−1⎛⎞Σ0−111Σ=Σ⎜⎟,det=detΣ⋅detΣ−11122⎝⎠0Σ22从而11⎛⎞''
8、1−⎛⎞x1fx(,)x=−exp⎜⎟(,)xxΣ⎜⎟XX12,12n12(2)det2xπΣ⎝⎠⎝⎠2211⎛⎞'1−=−exp⎜⎟xxΣΠiiiii=1(2)detπniΣ⎝⎠2ii易见11⎛⎞'1−fx()=−exp⎜⎟xxΣ,i=1,2.Xiiniiii(2)detπiΣ⎝⎠2ii从而f(,)xx=fxfx()⋅()XX12,12X11X22故X,X独立，且XN∼(,)μΣ。12iiii2关于多维正态分布（共7页）性质3：（正态分布随机向量的分量的独立化，正态分布的边缘分布仍是正态分布）设⎛⎞X⎛⎞⎛⎞μ⎛ΣΣ⎞111112XN=⎜⎟∼⎜⎟⎜⎟,⎜⎟⎝⎠X⎝⎠μ⎝ΣΣ⎠
9、22⎝⎠2122其中X是n维随机向量，X是n维随机向量，X是n维随机向量；μ∈Rni，Σ1122iij是n×n阶实数矩阵，i=1,2。记ij⎛⎞⎛YI110⎞⎛⎞X1Y==⎜⎟⎜⎟⎜⎟−1⎝⎠⎝YI−ΣΣ⎠⎝⎠X2211122其中是阶单位矩阵。则Inii⎛⎞⎛⎞μ11⎛Σ10⎞1.YN∼⎜⎟⎜⎟−1,⎜−1⎟，从而Y1和Y2独立。⎝⎠μμ−ΣΣ⎝0Σ−ΣΣΣ⎝⎠22111122211112⎠2.XN∼(,)μΣ，i=1,2。iiii证明：根据性质1，⎛⎞⎛YI110⎞⎛⎞X1Y==⎜⎟⎜⎟⎜⎟−1⎝⎠⎝YI−ΣΣ⎠⎝⎠X2211122⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ΣΣ⎞⎛⎞−ΣΣ−1II0
10、0μI111111211112∼N⎜⎟⎜⎟⎜⎟−ΣΣ−−11⎜⎟,⎜⎟−ΣΣ⎜ΣΣ⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠2111II2⎝μ2⎠⎝⎠21112⎝2122⎠⎝⎠0I2⎛⎞⎛⎞μ⎛Σ0⎞111=N⎜⎟⎜⎟,⎜⎟−−11⎝⎠μμ−ΣΣ⎝0Σ−ΣΣΣ⎠⎝⎠22111122211112由性质2知，Y和Y独立，并且XYN=∼(,)μΣ。用类似的办法可以证明1211111XN∼(,μΣ)。2222注记：这里使用的变量变换是从不独立（X,X可能不独立）到独立（构造出来12的YY,是独立的），而对正态分布随机向量的分量，独立与不相关是等价的（性122质3），而不相关相当于几何上的垂直（关于H空间上的内积）
11、，因此这本质上就是内积空间中向量组的Gram-Schmidt正交化过程。这方法在教材第141页例3.1.7、第149页例3.2.5、第174页例3.4.9、第189页例3.5.4中都有体现。另外，这里得到的结论对应教材第149页例3.2.5（二元正态的边缘分布）。3关于多维正态分布（共7页）性质1’：（正态分布在非退化仿射变换下的不变性，性质1的一般形式）设n维随机向量XN∼(,)μΣ，A是mn×阶实数方阵，rankA=m（即A的行向量m是线性无关的），b∈R。则YA=Xb+∼NAb(,μ+
