Excel进行FFT和Fourier分析

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1、Excel进行FFT和Fourier分析实例：杭州市2000人口分布密度[根据2000年人口普查的街道数据经环带(rings)平均计算得到的结果，数据由冯健博士处理]。下面的变换实质是一种空间自相关的分析过程。第一步，录入数据在Excel中录入数据不赘述（见表1）。表1原始数据序列表2补充后的数据序列第二步，补充数据由于Fourier变换（FT）一般是借助快速Fourier变换（FastFourierTransformation,FFT）N算法，而这种算法的技术过程涉及到对称处理，故数据序列的长度必须是2（N=1,2,3,…，）。N4如果数据序列长度不是2，就必须对数据进行补充或者裁减。

2、现在数据长度是26，介于2=165到2=32之间，而26到32更近一些，如果裁减数据，就会损失许多信息。因此，采用补充数据的方式。5补充的方法非常简单，在数据序列后面加0，直到序列长度为32=2为止（表2）。当然，6延续到64=2也可以，总之必须是2的整数倍。不过，补充的“虚拟数据”越多，变换结果的误差也就越大。1第三步，Fourier变换的选项设置沿着工具（Tools）→数据分析（DataAnalysis）的路径打开数据分析复选框（图1）。图1数据分析（DataAnalysis）的路径在数据分析选项框中选择傅立叶分析（FourierAnalysis）（图2）。图2数据分析（DataAn

3、alysis）在Fourier分析对话框中进行如下设置：在输入区域中输入数据序列的单元格范围“$B$1:$B$33”；选中“标志位于第一行（L）”；将输出区域设为“$C$2”或者“$C$2:$C$33”（图3a）。a2b图3傅立叶分析（FourierAnalysis）注意：如果“输入区域”设为“$B$2:$B$33”，则不选“标志位于第一行（L）”（图3b）。表3FFT的结果3第四步，输出FFT结果选项设置完毕以后，确定（OK），立即得到FFT结果（表3）。显然，表3给出的都是复数（complexnumbers）。假定一个数据序列表为f(t)，则理论上Fourier变换的结果为jt

4、F()f(t)edt=F[f(t)],()表3中给出的正是相应于F(ω)的复数，这里ω为角频率。第五步，计算功率谱Excel好像不能自动计算功率谱，这需要我们利用有关函数进行计算。计算公式为12122P()F()(AB)TT式中A为复数的实部（realnumber），B为虚部（imaginarynumber），T为假设的周期长度，实则补充后的数据序列长度。对于本例，T=32。注意复数的平方乃是一个复数与其共轭222（conjugate）复数的乘积，若F(ω)=a+bj，则

5、F(ω)

6、=(a+bj)*(a-bj)=a+b。这样，根据表3中的FFT结果，我们有

7、22(218701.8570)/32149470319622(104459.634103400.538)/32675108949其余依次类推。显然，这样计算非常繁琐。一个简单的办法是调用Excel的模数（modulus）计算函数ImAbs，方法是在函数类别中找“其他”，在其他类中找“工程”类，在工程类中容易找到ImAbs函数（图4）。确定以后，弹出一个选项框，选中第一个FFT结果，确定，得到218701.857（图5）。我们知道，复数的模数计算公式为221/2M(AB)图4模数计算函数4对于第一个FFT结果，由于虚部为0，模数就是其自身，即221/2(218701.8570

8、)218701.857但对于后面真正的复数，就不一样了。抓住第一个模数所在的单元格的右下角往下一拉，或者用鼠标双击该单元格的右下角，立即得到全部模数。图5计算模数最后，用模数的2次方除以数据长度32立即得到全部功率谱密度结果（表4）。表4功率谱密度下表是利用Mathcad2000计算的功率谱密度（表5）。利用Mathcad进行FFT，过程要简单得多，只要调用FFT命令，可以直接给出各种结果（包括图表）。但Mathcad的计算不求精度，有一定误差。将Mathcad的变换结果copy到Excel中进行比较，可以看到，如果5不计误差，二者是一致的（表4）。表5借助Mathcad2000进行F

9、FT的结果0101.495?0916.751?0822.948?0831.026?0843.188?0752.476?0762.985?0772.446?07Power81.172?0796.238?06108.908?06111.073?07121.042?07139.42?06146.494?06154.79?06164.697?06第六步，功率谱分析功率谱分析目前主要用于两个方面，一是侦测系统变化的某种周期或者节律，据此寻找