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时间:2019-10-07
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1、Excel进行FFT和Fourier分析实例:杭州市2000人口分布密度[根据2000年人口普查的街道数据经环带(rings)平均计算得到的结果,数据由冯健博士处理]。下面的变换实质是一种空间自相关的分析过程。第一步,录入数据在Excel中录入数据不赘述(见表1)。表1原始数据序列表2补充后的数据序列第二步,补充数据由于Fourier变换(FT)一般是借助快速Fourier变换(FastFourierTransformation,FFT)N算法,而这种算法的技术过程涉及到对称处理,故数据序列的长度必须是2(N=1,2,3,…,)。N4如果数据序列长度不是2,就必须对数据进行补充或者裁减。
2、现在数据长度是26,介于2=165到2=32之间,而26到32更近一些,如果裁减数据,就会损失许多信息。因此,采用补充数据的方式。5补充的方法非常简单,在数据序列后面加0,直到序列长度为32=2为止(表2)。当然,6延续到64=2也可以,总之必须是2的整数倍。不过,补充的“虚拟数据”越多,变换结果的误差也就越大。1第三步,Fourier变换的选项设置沿着工具(Tools)→数据分析(DataAnalysis)的路径打开数据分析复选框(图1)。图1数据分析(DataAnalysis)的路径在数据分析选项框中选择傅立叶分析(FourierAnalysis)(图2)。图2数据分析(DataAn
3、alysis)在Fourier分析对话框中进行如下设置:在输入区域中输入数据序列的单元格范围“$B$1:$B$33”;选中“标志位于第一行(L)”;将输出区域设为“$C$2”或者“$C$2:$C$33”(图3a)。a2b图3傅立叶分析(FourierAnalysis)注意:如果“输入区域”设为“$B$2:$B$33”,则不选“标志位于第一行(L)”(图3b)。表3FFT的结果3第四步,输出FFT结果选项设置完毕以后,确定(OK),立即得到FFT结果(表3)。显然,表3给出的都是复数(complexnumbers)。假定一个数据序列表为f(t),则理论上Fourier变换的结果为jt
4、F()f(t)edt=F[f(t)],()表3中给出的正是相应于F(ω)的复数,这里ω为角频率。第五步,计算功率谱Excel好像不能自动计算功率谱,这需要我们利用有关函数进行计算。计算公式为12122P()F()(AB)TT式中A为复数的实部(realnumber),B为虚部(imaginarynumber),T为假设的周期长度,实则补充后的数据序列长度。对于本例,T=32。注意复数的平方乃是一个复数与其共轭222(conjugate)复数的乘积,若F(ω)=a+bj,则
5、F(ω)
6、=(a+bj)*(a-bj)=a+b。这样,根据表3中的FFT结果,我们有
7、22(218701.8570)/32149470319622(104459.634103400.538)/32675108949其余依次类推。显然,这样计算非常繁琐。一个简单的办法是调用Excel的模数(modulus)计算函数ImAbs,方法是在函数类别中找“其他”,在其他类中找“工程”类,在工程类中容易找到ImAbs函数(图4)。确定以后,弹出一个选项框,选中第一个FFT结果,确定,得到218701.857(图5)。我们知道,复数的模数计算公式为221/2M(AB)图4模数计算函数4对于第一个FFT结果,由于虚部为0,模数就是其自身,即221/2(218701.8570
8、)218701.857但对于后面真正的复数,就不一样了。抓住第一个模数所在的单元格的右下角往下一拉,或者用鼠标双击该单元格的右下角,立即得到全部模数。图5计算模数最后,用模数的2次方除以数据长度32立即得到全部功率谱密度结果(表4)。表4功率谱密度下表是利用Mathcad2000计算的功率谱密度(表5)。利用Mathcad进行FFT,过程要简单得多,只要调用FFT命令,可以直接给出各种结果(包括图表)。但Mathcad的计算不求精度,有一定误差。将Mathcad的变换结果copy到Excel中进行比较,可以看到,如果5不计误差,二者是一致的(表4)。表5借助Mathcad2000进行F
9、FT的结果0101.495?0916.751?0822.948?0831.026?0843.188?0752.476?0762.985?0772.446?07Power81.172?0796.238?06108.908?06111.073?07121.042?07139.42?06146.494?06154.79?06164.697?06第六步,功率谱分析功率谱分析目前主要用于两个方面,一是侦测系统变化的某种周期或者节律,据此寻找
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