近世代数基础测验卷

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1、近世代数测验题一、填空题（42分）1、设集合与分别有代数运算与，且，则当时，也满足结合律；当时，也满足交换律。2、对群中任意元素=；3、设群G中元素a的阶是n，n

2、m则=；4、设是任意一个循环群，若，则与同构；若，则与同构；5、设G=为6阶循环群，则G的生成元有；子群有；6、n次对称群的阶是；置换的阶是；7、设，则；8、设，则；9、设H是有限群G的一个子群，则

3、G

4、=；10、任意一个群都同一个同构。二、证明题（24）1、设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程。2、叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，

5、并证明群G的任意两个子群H与K的交仍然是G的一个子群。3、证明:如果群G中每个元素都满足方程，则G必为交换群。一、解答题（34）1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算作成群。2、写出三次对称群的所有子群并写出关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。参考答案：一、填空题1、满足结合律；满足交换律；2、；3、e；4、整数加群；n次单位根群；5、；；6、n!;47、8、(456)(32)9、

6、H

7、:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已知，

8、a

9、=k,则k

10、n令n=kq,则即G中每个元

11、素都满足方程2、充要条件：；证明：已知H、K为G的子群，令Q为H与K的交设,则H是G的子群，有K是G的子群，有综上所述，H也是G的子群。3、证：G是交换群。三、解答题1、解：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素（2）G中有元素e，它对G中每个元素（3）对G中每个元素则G对代数运算作成一个群。对任意整数a,b，显然a+b+4由a,b唯一确定，故为G的代数运算。（ab）c=(a+b+4)c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8a(bc)=a+b+c+8即（ab）

12、c=a(bc)满足结合律a均有（-4）a=-4+a+4=a故-4为G的左单位元。（-8-a）a=-8-a+a+4=-4故-8-a是a的左逆元。2、解：其子群的阶数只能是1，2，3，61阶子群｛（1）｝2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝3阶子群｛（1）（123）（132）｝6阶子群左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H右陪集：H（1）=｛（1）（23）｝=H（23）H（13）=｛（13

13、）（23）｝=H（123）H（12）=｛（12）（132）｝=H（132）近世代数复习题1.n次对称群Sn的阶是____________.2.一个有限非可换群至少含有____________个元素.3.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个.4.设G是6阶循环群，则G的生成元有____________个。5.剩余类加群Z6的全部生成元是________。6.整数加群Z有__________个生成元.7.6阶循环群有_________个子群.8.设Z7是模７的剩余类加群，那么Z7有___

14、________个子群．9.素数阶有限群G的非平凡子群个数等于____________。10.在3次对称群S3中与元(123)不可交换的元有_____个.11、给出一个5-循环置换，那么。12.5次对称群S5中，(12543)2(13542)-1=_________.13.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。14、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为。15、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。16.每一个有限群

15、都和一个_____群同构.17.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素a的阶只可能是___________。18.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。19.在3次对称群S3中，H＝{(1)，(12)}是S3的一个子群，则(13)H＝___________．20.设循环群G=(a)，如果a的周期无限，则(a)同构于________。21.剩余类环Zm是无零因子环的充要条件

16、是_____.22.剩余类环Z5的零因子个数等于__________.23.模9的剩余类环Z9的零因子为________.24.模P（素数）的剩余类环Zp有________个可逆元.25.剩余类环Z11的可逆元有___________个.26.除环的理想共有____________个.27.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是__