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《异面直线的夹角,线面角(含答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。异面直线所成的角的范围：几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例1在正方体中，E是A
2、B的中点，（1）求BA/与CC/夹角的度数.（2）求BA/与CB/夹角的度数．(3)求A/E与CB/夹角的余弦值．例2：长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的余弦值。直接平移：常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a的平行线。解法一：如图④，过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=3，∠DB1E=解法二：如图⑤，在平面D1DBB
3、1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1BE=6课堂思考：1.如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。ABCD2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱BB1=BC=1，AB=，求DB和AC所成角的余弦值.例3题图例3如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度
4、数.课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE所成的角的余弦值。（2）求直线AF和CE所成的角的余弦值。6二、线面角1、线面角的范围：θ∈[0，]．2、线面角的求法1）解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角．在某一直角三角形内求解．2）线面角的求法还可以不用做出平面角．可求出线上某点到平面的距离d，利用sinα＝可求.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为
5、直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1（如图1）四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。解:（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,图1∴SC⊥平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥
6、平面SCM,∴面ABC⊥面SCM过S作SH⊥CM于H,则SH⊥平面ABC∴CH即为SC在面ABC内的射影。∠SCH为SC与平面ABC所成的角。sin∠SCH=SH／SC∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2.利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面
7、的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2（如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4，求AB与面AB1C1D所成的角。解：设点B到AB1C1D的距离为h,∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，易得h=12／5设AB与面AB1C1D所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／56图2∴AB与面AB1C1D所成的角为arcsin4／5例3、如图甲，在平面四边形ABCD中∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝10
8、5°，AB＝BD，再将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值．证明：在图甲中，∵AB＝BD且∠A＝45°，∴∠ADB＝45°.∴∠ABD＝90°，即AB⊥BD.在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC＝BD，∴A
