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时间:2019-07-04
《异面直线的夹角专题(教师版)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小,是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的.准确选定角的顶点,平移直线构造三角形是解题的重要环节.本文举例归纳几种方法如下,供参考.方法一:抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点,引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行),往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标.例1:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是?解:连B1G,则A1E∥B1G,知∠B1GF
2、就是异面直线A1E与GF所成的角.在△B1GF中,由余弦定理,得cosB1GF==0,故∠B1GF=90°练习1.1:在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别为AB、CD的中点,EF=,求AD、BC所成角的大小.练习1.2:长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2cm,AA1=4cm,求异面直线BD1与AD所成的角的余弦值?方法二:抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时,抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2:设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如图).现
3、将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N的连线与AE所成角的大小为多少?解:取AE中点G,连结GM、BG∵GM∥ED,BN∥ED,GM=ED,BN=ED.∴GM∥BN,且GM=BN.∴BNMG为平行四边形,∴MN//BG∵A的射影为B.∴AB⊥面BCDE.∴∠BEA=∠BAE=45°,又∵G为中点,∴BG⊥AE.即MN⊥AE.∴MN与AE所成角的大小等于90度.练习2.1:S是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SA=SB=SC,BMANCS且ASB=BSC=CSA=,M、N分别是AB
4、和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.证明:连结CM,设Q为CM的中点,连结QN则QN∥SM∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ,设SC=a,在△BQN中BN=NQ=SM=aBQ=∴COS∠QNB=练习2.2:如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M、N分别是A1B1和A1C1的中点,ACBNMA1C1B1若BC=CA=CC1,求NM与AN所成的角的余弦值.解:连接MN,作NG∥BM交BC于G,连接AG,易证∠GNA就是BM与AN所成的角.设:BC=CA=CC1=2,则AG=AN=,GN=B1M=,c
5、os∠GNA=.练习2.3:如图,在正方体中,E、F分别是、CD的中点.求与所成的角。证明:取AB中点G,连结A1G,FG,因为F是CD的中点,所以GF∥AD,又A1D1∥AD,所以GF∥A1D1,故四边形GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F。设A1G与AE相交于H,则∠A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。方法三:平移(或构造)几何体有些问题中,整体构造或平移几何体,能简化解题过程.例3:如图,平面,且,则异面直线
6、PB与AC所成角的正切值为多少?解:将此多面体补成正方体,与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小,在Rt△PDB中,即.练习3.1:正ABC的边长为a,S为ABC所在平面外的一点,SA=SB=SC=a,E,F分别是SC和AB的中点.求异面直线SA和EF所成角.练习3.2:已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,PD=3(1)求PB与平面ABCD所成角的大小;(2)求异面直线PC与BD的夹角大小.作业:一、选择题1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是()(A)不平行的直线(B)不相交的直线(C)相交直线或平行直线(D)
7、既不相交又不平行直线2.已知EF是异面直线a、b的共垂线,直线l∥EF,则l与a、b交点的个数为()(A)0(B)1(C)0或1(D)0,1或23.两条异面直线的距离是()(A)和两条异面直线都垂直相交的直线(B)和两条异面直线都垂直的直线(C)它们的公垂线夹在垂足间的线段的长(D)两条直线上任意两点间的距离4.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出三个命题:①如果a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c是异面直线;②如果a,b相交,b,c也相交,则a,c相交;③如果a,b共面,b,c也共面,则a,c共面.上述命题中,真命题的个数是()(A
8、)3个(B)2个(C)1个(D)0个ABCSEF5.异面直线a、b成60°,直线c⊥a,则直线b与c所成的角的范围为()(A)[30°,90°](B)
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