26 进位制问题

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1、本讲不着重讨论进制中运算问题，我们是关心这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：进制就是逢进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．1．计算：(234)+(656)【分析与解】我们必须注意到7进制的运算必须是逢7进l，如下：于是，和为(1223)．2．在几进制中有4×13=100．【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)×(3)=(12)．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制为12的约数，也

2、就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)×(13)=(52)，因52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道<10．所以，只能是6．3．在几进制中有125×125=16324．【分析与解】注意(125)×(125)=(15625)，因15625<16324，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以，<10．我们再注意尾数分析，(5)×(5)10=(25)，16324的末位为4，于是25-4=21进到上一位．所以说进位制为2l的约数，也就是2l，7，3．因

3、为出现了6，所以只能是7．4．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12120l201101101211213进制55l64135479进制所以，首位为5．评注：若原为进制的数，转化为进制，则从右往左数每个数一组化为进制．如：2进制转化为8进制，2=8，

4、则从右往左数每3个数一组化为8进制．101000011012进制24158进制(10100001101)=(2415)．5．在7进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】我们还原为十进制()=×72+×7+=49+7十；()=×92+×9+=81+9+．于是49+7+=81+9+；48=80+2，即24=40+；因为24是8的倍数，40也是8的倍数，所以也应该是8的倍数．于是=0或8，但是在7进制，不可能有8这个数字．于是=0，所以24=40，则3=5；所以为5的倍数，为3的倍数．所以，=0或5，但是，

5、首位不可以是0，于是=5,=3；所以()=(503)=5×49+3=248.于是，这个三位数在十进制中为248．6．在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】()=×62＋×6+=36+6+；()=×92+×9+=81+9+．所以36+6+=81+9+；于是35=3b+80；因为35是5的倍数，80也是5的倍数．所以3也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，=0或5．①当=0，则35=80；则7=16；(7，16)=1，并且、≠0，所以=16，=7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当=

6、5，则35=3×5+80；则7=3+16；mod7后，3+2≡0所以=2或者2+7(为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是=2．于是，35=15+80×2；=5．于是()=(552)=5×62+5×6+2=212．所以．这个三位数在十进制中为212．7．N是整数，它的进制表示是777，求最小的正整数，使得N是十进制整数的四次方．【分析与解】我们将进制中数改写为10进制，则(777)=7×2+7×+7；则有7×2+7×+7=，我们知道N是7的倍数，所以也是7的倍数，又7为质数，所以是7的倍数．于是，令=7，则7×2

7、+7×+7=2401,则2++1=343；当＝1时，6。2++1=343，(+1)=342，则=18；因为最小，所以也是最小的．所以有最小在18进制有(777)=(7)．8．设1987可以在进制中写成三位数，且=1+9+8+7，试确定出所有可能的、、及．【分析与解】我们注意①-②得：(-1)+(-1)=1987-25．则(-1)(+1)+(-1)=1962，即(-1)[(+1)+]=1962．所以，1962是(-1)的倍数．1962=2×9×109：当-1=9时，=10，显然不满足；当-1=18时，=19，则（-1)[(+1)+]=

8、18×(20+)=1962；则20+=109，所以，显然，当=109不满足，=2×109不满足，当=9×109也不满足．于是为(59B)=(1987)，B代表11．9.(1)证明10201在大于2的任何进制的记数法中，都是一个合数．(