第26讲 进位制问题

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1、第26讲进位制问题内容概述本讲不着重讨论进制中运算问题，我们是关心这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：进制就是逢进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．典型问题1．在几进制中有4×13=100．【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)×(3)=(12)．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)×(13)=(52)，因52<100，

2、也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道<10．所以，只能是6．2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12120l201101101211213进制55l64135479进制所以，首位为5．评注：若原为进制的数，转化为进制，则从右往左数每个数一组化为进制．如：2进制转化为8

3、进制，2=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．101000011012进制24158进制(10100001101)=(2415)．3．在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】()=×62＋×6+=36+6+；()=×92+×9+=81+9+．所以36+6+=81+9+；于是35=3b+80；因为35是5的倍数，80也是5的倍数．所以3也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，=0或5．①当=0，则35=80；则7=16；(7，16)=1，并且、≠0，所以=16，=7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当=5，则35=3×

4、5+80；则7=3+16；mod7后，3+2≡0所以=2或者2+7(为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是=2．于是，35=15+80×2；=5．于是()=(552)=5×62+5×6+2=212．所以．这个三位数在十进制中为212．4．设1987可以在进制中写成三位数，且=1+9+8+7，试确定出所有可能的、、及．【分析与解】我们注意①-②得：(-1)+(-1)=1987-25．则(-1)(+1)+(-1)=1962，即(-1)[(+1)+]=1962．所以，1962是(-1)的倍数．1962=2×9×109：当-1=9时，=10，显然不满足；当-

5、1=18时，=19，则（-1)[(+1)+]=18×(20+)=1962；则20+=109，所以，显然，当=109不满足，=2×109不满足，当=9×109也不满足．于是为(59B)=(1987)，B代表11．5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D的和为多少?【分析与解】于是，我们知道=4，所以为4进制，则A+B+C+D=3+1+2+0=6．6.一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数.【分析与解】我们现把1024转化为二

6、进制：(1024)=2=(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况．并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如=则，可以含2个l，4个1，6个1，8个l，10个1．于是为==45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个.7．计算：26的余数．【分析与解】==26=(222)所以，÷26=÷(222)(222)整除(222)，2003÷3：667……2，所以余(22)=8．所以余数为8．8．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字

7、恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】我们设(3)=(4)=(5)；我们知道(4)在(400)～(488)之间，也就是4×92～5×92-1，也就是324～406；还知道(5)在(500)～(577)之间，也就是5×82～6×82-1，也就是320～383；又知道(3)在(300)～(399)之间．所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.9.一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走