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1、第26讲进位制问题内容概述本讲不着重讨论斤进制中运算问题，我们是关心料这个数字，即为几进制.对丁进位制我们要注意本质是：〃进制就是逢〃进一.但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的.说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制.典型问题1.在几进制中有4X13=100.【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在儿进制均有⑷K)X⑶十(⑵]().但是，式屮为100,尾数为0.也就是说已经将12全部进到上一位.所以说进位制"为12的约数，也就是12,6,4,3,2.但是出现了4,所以不可
2、能是4,3,2进制.我们知道⑷10X(13),0=(52)]0,因52<100,也就是说不到10就己经进位，才能是100,于是我们知道n<10.所以，〃只能是6.2.在三进制中的数12120120110110121121,则将其改写为九进制，其从左向右数第1位数字是儿？【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大.注意到，三进制迹动两位则我们注意到进动了3个3,于是为9.所以变为遇9进1•也就是九进制.于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：121201201101
3、101211213进制55164135479进制所以，首位为5.评注：若原为斤进制的数，转化为nki&制，则从右往左数每k个数一•纽化为斤"进制.如：2进制转化为8进制，2*8,则从右往左数每3个数一组化为8进制.101000011012进制24158进制(10100001101)2=(2415)8.3.在6进制中有三位数abc,化为9进制为cba,求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】(abc)&二aX6‘+bX6+c=36a+6b+c；(cba)9=cX92+bX9+a=81c+9b+a.所以36d
4、+6方+c=81c+9b+d；于毘35a二3b+80c；因为35。是5的倍数，80c也是5的倍数.所以3b也必须是5的倍数，乂(3,5)=1.所以，b二0或5.①当b=0,则35d二80c；贝IJ7a=lQc:(7,16)=1,并且d、cHO,所以。=16,c=7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16.②当b=5,则35。二3X5+80C；贝l」7d=3+16c；mod7后，3+2c三0所以c二2或者2+7R(R为整数).因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2.于是，35d=15+80X
5、2；a=5.于是(abc)6=(552)§二5X605X6+2二212.所以.这个三位数在十进制中为212.1.设1987可以在/?进制中写成三位数x)^z,且x+y+z=l+9+8+7,试确定出所有可能的x、八z及b.命与解】我们注意m霍①-②得：(z?2-l)x+(b-l)y=1987-25.则(bT)(b+1)x+(bT)y=1962,即(b-l)[(b+l)兀+y]二1962.所以，1962是(b-1)的倍数.1962=2X9X109：当b~l=9时,b=10,显然不满足;当/?-1=18时，&=1
6、9,则(b-1)[(b+1)x+y]=18X(20兀+y)=1962；则20x+y=109,y—4所以,不满足),y=29Z=ll显然,当b=109不满足,b=2X109不满足,当/?=9X109也不满足.于是为(5913)廿(1987)心B代表11.2.下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D的和为多少？【分析与解】于是，我们知道"4,所以为4进制，ABC十BDCA+BB1)cc+A11DCC/BDcD1D_CDATcA12+10c+10210>c010201020所
7、以”_A+B+C+D=3+l+2+0二6•零自然数，如果它的二进制表示中数码1的个数是偶数，则称111...10000...05个1个哋I上0丿2kIzrj%可以含2个1,4个1,10个位置贝IJ于是0=2.进位制为2X2=4―6.一个非Z为“坏数”•例如：18二（10010）2是“坏数”.试求小于1024的所有坏数的个数.【分析与解】我们现把1024转化为二进制：(1024)]0二22二(10000000000)2于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况.并H,我们把不足10位数的在前而
8、补上0,如6个1,8个1,10个1.于是为U）+&）+◎+◎+昭]糾+‘智8x72Ix2x3x4109x8x7x6x5Ix2x3x4x5x6109x8x7x6x5x4x3lx2x3x4x5x6x7x8二45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个./7.计算：3x3x3...x3-l26的余数.J_V_丿2003个3丿【分析与解】/、1000...X0-1X./、26二(222
