高考数学一轮复习考点题型课下层级训练28平面向量的数量积及应用举例（含解析）

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1、课下层级训练(二十八)　平面向量的数量积及应用举例[A级　基础强化训练]1．(2019·山东省实验中学诊断)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，若a⊥b，则m＝(　　)A．－2　　B．－　　C．　　D．2【答案】D　[由题得a·b＝－m＋2＝0，∴m＝2.]2．(2019·山东威海检测)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，向量a与b的夹角为锐角，则x的范围为(　　)A．(－2,2)B．(0，＋∞)C．(0,2)∪(2，＋∞)D．[－2,2]【答案】C　[由向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，因为向量a与b的夹

2、角为锐角，则x×1＋(－4)×(－x)＞0且≠，解得x＞0且x≠2，即x的范围为(0,2)∪(2，＋∞)．]3．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为(　　)A．－　B．－3　C．　D．3【答案】C　[因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为

3、

4、cos〈，〉＝＝＝.]4．(2019·山东安丘月考)已知向量与的夹角为，

5、

6、＝2，

7、

8、＝3，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且⊥，则＝(　　)A．B．6C．D．4【答案】B　[由题设有·＝0，故(λ＋μ)

9、·(－)＝0，整理得－4λ＋9μ＋3(λ－μ)＝0，即λ＝6μ，＝6.]5．(2019·山东临沂期中)已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，则

10、a＋2b

11、＝(　　)A．B．C．6D．7【答案】B　[∵a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，∴

12、a＋2b

13、＝＝＝＝.]6．(2019·山东德州检测)在小正方形边长为1的正方形网格中，向量a，b的大小与方向如图所示，则向量a，b所成角的余弦值是(　　)A．B．C．D．【答案】B　[如图所示，建立直角坐标系，若取a＝(1,2)，b＝(4,1)，则cos〈a，b〉＝＝＝.]7．(

14、2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且

15、a＋b

16、2＝

17、a

18、2＋

19、b

20、2，则m＝________.【答案】－2　[∵

21、a＋b

22、2＝

23、a

24、2＋

25、b

26、2＋2a·b＝

27、a

28、2＋

29、b

30、2，∴a·b＝0.又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]8．(2019·山东日照期中)已知向量a，b，

31、a

32、＝1，

33、b

34、＝2，且

35、2a＋b

36、＝，则a·b＝________.【答案】　[因为

37、a

38、＝1，

39、b

40、＝2，所以

41、2a＋b

42、＝＝＝，∴a·b＝.]9．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝

43、2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.【答案】4　[由题意可建立如图所示的坐标系．可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.]10．(2019·山东泰安期中)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)．(1)若(a＋b)⊥b，求m的值；(2)若a·b＝－1，求向量b在向量a方向上的投影．【答案】解　(1)a＋b＝(4，m－2)，∵(a＋b)⊥b，∴3×4－2(m－2)＝0，∴m＝8.(2)a·b＝3－2m＝－1，∴m＝2，

44、∴a＝(1,2)．∴b在向量a方向上的投影为

45、b

46、cos〈a，b〉＝＝＝.[B级　能力提升训练]11．(2018·山东济南期中)设点O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(　　)A．3B．C．2D．【答案】A　[分别取AC、BC的中点D、E，∵＋2＋3＝0，∴＋＝－2(＋)，即2＝－4，∴O是DE的一个三等分点，∴＝3.]12．(2018·山东济南外国语学校期中)设向量a，b，c满足

47、a

48、＝

49、b

50、＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则

51、c

52、的最大值等于(　　)A．1B．C．D．

53、2【答案】D　[由于

54、a

55、＝

56、b

57、＝1，a·b＝

58、a

59、

60、b

61、cosθ＝cosθ＝－，故a，b两个向量的夹角为120°，结合〈a－c，b－c〉＝60°，画出图象如下图所示．＝a，＝b，＝c，四边形对角互补的话，该四边形是圆的内接四边形，故当O1C为直径时，

62、c

63、取得最大值．由于直径所对的角为直角，故

64、

65、＝2

66、

67、＝2，即

68、c

69、取得最大值为2.]13．(2019·山东菏泽月考)已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n(m＞0，n＞0)，若m＋n＝1，则

70、

71、的最小值为(　　)A．B．C．D．【答案】C　[由题得＝(3m＋n，m

72、－3n)，所以

73、

74、＝＝≥＝，当且仅当m＝n＝时，等号成立．]14．已知

75、a

76、＝2

77、b

78、，

79、b

80、≠0，且关于x的方程x2＋

81、a

82、x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________.【答案】　[由已知可得Δ＝

83、a

84、2＋4a·b＝0，即4

85、b

86、2＋4×2

87、b

88、2cosθ＝0，∴co