导数及其应用学习基础练习提高

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1、'　导数及其应用强化练习题型一　导数意义及应用例1-1　在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．答案　(1)(－2,15)　解析　(1)因为y′＝3x2－10，设P(x，y)，则由已知有3x2－10＝2，即x2＝4，∴x＝±2，又∵点P在第二象限，∴x＝－2.则y＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，∴点P坐标为(－2,15)．例1-2　(2013·福建)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝

2、f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；

3、当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．'变式训练1　(1)(2013·湖北)直线y＝2x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案　－ln2－1解析　切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b的值．y′＝，令＝2，得x＝，故切点为，代入直线方程，得ln＝2

4、×＋b，所以b＝－ln2－1.题型二　利用导数研究函数的单调性例2　已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．审题破题　(1)直接根据f′(x)<0确定单调递减区间；(2)g(x)在[1，＋∞)上单调，则g′(x)≥0或g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立．解　(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝，故f(x)的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(

5、x)在[1，＋∞)上是单调函数．①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝－2x2，∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，'则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．∴实数a的取值范围为[0，＋∞)．变式训练2　已知函数f(x)＝ln(2－x)＋ax.(1)设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆(x＋1)2＋y2＝1相切，求a的值；(2

6、)当a>0时，求函数f(x)的单调区间．解　(1)函数的定义域为(－∞，2)．依题意得f′(x)＝a＋.因此过(1，f(1))点的切线的斜率为a－1.又f(1)＝a，所以过点(1，f(1))的切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)，即(a－1)x－y＋1＝0.又已知圆的圆心为(－1,0)，半径为1，依题意，有＝1，解得a＝1.(2)f(x)＝ln(2－x)＋ax的定义域为(－∞，2)，f′(x)＝a＋.因为a>0，所以2－<2.令f′(x)>0，解得x<2－；令f′(x)<0，解得2－

7、单调减区间是.题型三　利用导数研究函数的极值(最值)例3　已知函数f(x)＝x2＋lnx.'(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．审题破题　(1)f(x)在闭区间[1，e]上的最大值、最小值要么在端点处取得，要么在极值点处取得．所以首先要研究f(x)在[1，e]上的单调性．(2)f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方，即g(x)－f(x)在(1，＋∞)上恒大于0.(1)解　当x∈[1，e]时，f′(x)＝x＋>0，所以f(

8、x)在区间[1，e]上为增函数．所以当x＝1时，f(x)取得最小值；当x＝e时，f(x)取得最大值e2＋1.(2)证明　设h(x)＝g(x)－f(x)＝x3－x2－lnx，x∈[1，＋∞)，则h′(x)＝2x2－x－＝＝