高考数学复习点拨 空间几何体的表面积和体积命题趋势与题型解读

《高考数学复习点拨 空间几何体的表面积和体积命题趋势与题型解读》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、空间几何体的表面积和体积命题趋势与题型解读近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。预测高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与

2、多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；题型一：柱体的体积和表面积例1．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图1图2解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，从而OM=

3、ON。∴点O在∠BAD的平分线上。（2）∵AM=AA1cos=3×=∴AO==。又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，∴A1O=，平行六面体的体积为。题型二：柱体的表面积、体积综合问题用心爱心专心例2．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=

4、7∶5。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型三：锥体的体积和表面积例3．　在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如图所示）图（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC。解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC。由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。（Ⅱ）解：∵B

5、C⊥AC，SC⊥BC。∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10。在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，∵SA=，S△ABC=·AC·BC=×5×5=，∴VS－ABC=·S△ACB·SA=。点评：用心爱心专心本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。题型四：锥体体积、表面积综合问题例4．　如图，在四面体ABCD中，截面

6、AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（　　）A．S1S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD，则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又

7、面AEF公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型五：棱台的体积、面积及其综合问题例5．　如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么（　　）A．B．C．2S0＝S＋S′D．S02＝2S′S（2）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）A．32B．28C．24D．20解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；（2）正六棱台上下底面面积分别为：S上＝6··22＝6，S下＝6··42＝24，V台＝，

8、答案B。点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选