高考数学复习点拨 变化率问题探究

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1、变化率问题探究变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率1、定义：函数在点处的增量与引起这个增量的自变量的增量之间的比值：称为函数从到的平均变化率.设，则上式简记为：注意：①上述所说的增量是一种变化量.即：是在处的改变量，可正、可负，但不能为0；是函数值的相应改变量，可正、可负，也可以为0；②平均变化率是变化的.一般情况下，随着、二者中任何一个发生变化，都会发生

2、变化.当然特殊情况下，也有例外，比如对于一次函数来说，就不会发生变化；③平均变化率的几何意义就是割线的斜率.即就是通过两点、的割线的斜率.2、例题讲解例1、求在到之间的平均变化率.解：当自变量从到之间变化时，函数的平均变化率为：评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了.例2、已知某物体作直线运动.其运动规律方程为：（单位：路程：时间：）求：（1）物体前3内的平均速率；（2）物体在2～3内的平均速率；解；（1）（）（2）（）评注：此题当中的平均速率其实就是（路程）的平均变化率.总结：求函数的平均变化率的步骤

3、：（1）求函数值的增量；（2）计算平均变化率.二、瞬时变化率1、定义：函数在点处的增量与引起这个增量的自变量的增量之间的比值当时的极限：存在.则称此极限为函数在处的瞬时变化率，也称为导数.记作：注意：①导数（瞬时变化率）可正、可负，也可以为0；②导数（瞬时变化率）是把平均变化率通过极限思想得出的；③导数（瞬时变化率）的几何意义就是切线的斜率.即就是通过点的切线的斜率；2、例题讲解例3、求曲线在点处的切线方程.解：设所求切线的斜率为，那么所以，所求切线方程为：整理得：评注：此题主要考查导数的几何意义.并考查了简单的极限

4、的运算.例4、有一圆柱形容器，其底面直径为，深度为.盛满液体后以的速率放出.求液面高度的变化率.解：设液体放出秒后，液面高度为，则依据题意有：即：所以，液面高度的变化率为：评注：此题当中所求的液面高度的变化率实际上求的就是液面高度的瞬时变化率，同学们一定要注意弄清题意.三、易错题分析例5、设函数的导数存在，则：（）A.B.C.D.答案：B.解：评注：在解决变化率问题的时候，一定要搞清楚自变量和函数值是如何变化的.此题中的函数值的变化量应该是，所以对应的自变量的变化量是.四、附加练习1、在曲线上取点及邻近点，那么=（）

5、A.B.C.D.答案：C2、试求曲线的切线，使它与直线平行.答案：和生活中的变化率问题多种多样.在数学上，差商就是平均变化率，导数就是瞬时变化率，利用数学工具，可以详尽地研究导数，继而解决现实中的变化率问题.对于源于变化率问题的导数，既要体会变化率的思想，又要明确其中采用的数学方法.