高二数学文圆锥曲线的最值问题人教实验B版知识精讲

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1、高二数学文圆锥曲线的最值问题人教实验B版知识精讲【本讲教育信息】一.教学内容：圆锥曲线的最值问题二.本周学习目标圆锥曲线最值问题是解析几何中的重要问题之一。它的求解常常涉及到函数、不等式、方程、三角以及平面几何等方面的知识，综合性较强。对学生来说是一个难点，但同时又是数学高考中的热点问题三.考点分析圆锥曲线中最值的求法有两种：（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现这一明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值常用的方法：

2、配方法，判别式法，重要不等式法及函数的单调性法。【典型例题】例1.点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3，求动点P与定点距离的最大值。错解：设动点P（x，y）到直线x=8的距离为d，则，即两边平方，整理得由此式可得因为所以剖析：由上述解题过程知，动点P（x,y）在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了这一取值范围，由以上解题过程知，的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决。即当时，例2.求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程.用心爱心专心解法一：当半径最小时，圆面积也最小，设所求圆的方程

3、为：即即+，此圆面积最小。故满足条件的圆的方程为：解法二：当圆心在直线上时，圆面积最小，由（一）易求得圆心坐标为代入直线方程得解之得故当时，此圆面积最小。故满足条件的圆的方程为例3.求椭圆上的点到直线的距离的最小值.分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值.解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为.当时，.说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程.例4.设，，，求的最大值和最小值.分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致.设，显然它表示一个圆，由此可以

4、画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解：由，得用心爱心专心可见它表示一个椭圆，其中心在点，焦点在轴上，且过（0，0）点和（3，0）点.设，则它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为.在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示.观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即，此时；当圆过（3，0）点时，半径最大，即，∴.∴的最小值为0，最大值为15.例5.已知椭圆的焦点F1(―3,0)、F2(3,0)且与直线x―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.解法1：设椭圆为=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得：(2a2―9)x2+18a2x+

5、90a2―a4=0，由题设△=(18a2)2―4(2a2―9)(90a2―a4)≥0a4―54a2+405≥0故amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆方程为.解法2：设椭圆=1与直线x―y+9=0的公共点为M(acosα,)，则acosα―+9=0有解.用心爱心专心=―9cos(α+)=，

6、

7、1≥9a2≥45,amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆的方程.解法3：先求得F1(―3，0)关于直线x―y+9=0的对称点F(―9,6)，设直线与椭圆的交点为M，则2a=

8、MF1

9、+

10、MF2

11、=

12、MF

13、+

14、MF2

15、≥

16、FF2

17、=6，于是(2a)m

18、in=6,易得a2=45,b2=36，此时椭圆的方程为.评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。解决圆锥曲线中的最值问题，必须在熟练并准确地掌握圆锥曲线的定义、性质的基础上，灵活运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，恰当的确立解题方法，此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、规范合理、结果准确。【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）A.(1，2)B.(2，1)C.(2，2)D.(0，0)2、抛

19、物线到直线距离最近的点的坐标为（）A.B.C.D.3、等边，内接于抛物线，则（）A.3B.C.D.无法判断4.双曲线的焦点为、，弦AB过且两端点在双曲线的一支上，若，则（）A.为定值B.为定值C.为定值D.不为定值5、AB是过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（）A.B.C.D.用心爱心专心6、若椭圆内有一点P（1，），F为右焦点，椭圆上有一点M，使值最小，则点M为（）A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7、过点两点，在x轴上求一点P，使它到点M、N的距离之和最小，则P点坐标为____________________。8、的

20、最大值和最小值为____________________。9、P点在椭圆上运动，Q、R分别在两圆：和上运动，则的最大值为_