高中数学《柱、锥、台和球的体积》文字素材2 新人教B版必修2

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1、体积计算中的常用方法例析一、转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．　　例1　在边长为的正方体中，分别是棱上的点，且满足，，（如图1），试求三棱锥的体积．　　分析：若用公式直接计算三棱锥的体积，则需要求出的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥的体积，便能很容易的求出其高和底面的面积，从而代入公式求解．　　解：．评注：转换顶点

2、和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据．二、分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．例2　如图2，在三棱柱中，分别为的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．分析：截面将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．解：设棱柱的底面积为，高为，其体积．则三角形的面积为．3用心爱心专心由于，则剩余不规则几何体的体积为，所

3、以两部分的体积之比为．评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算．年希尧的《视学》透视法的起源应归功于文艺复兴时期的意大利艺术家．这时期的艺术家们的观点改变了，不再像中世纪那样把绘画和雕塑的目的局限于为圣经插图、颂扬上帝，而是把描绘现实世界作为目的．他们也热心研究几何，其目的是为了把三维的现实世界真实地绘制在二维的画布上，由此产生了透视法．意大利数学家、艺术家阿尔贝蒂（Alberti，1404~1472）于1

4、435年发表《论绘画》，阐述了最早的数学透视法原理，引入了投影线和截景等概念．他设想在人眼和景物之间插立一张玻璃平板．当眼睛（指一只眼）向景物发出投影线时，由投射线和玻璃平板的交点所形成的点集叫做一个截景．截景给人的印象就如同景物本身一样．因此，如果所作的画和截景一样，就会显得很逼真．阿尔贝蒂的透视法逐渐被画家们采用并加以改进．天才艺术家达·芬奇（LeonardodaVinci，1452~1519）学识渊博，他十分重视数学的作用．他在绘画实践中，娴熟地运用了数学透视法原理．他写了一本谈透视法的书《绘画

5、专论》．书中认为一幅画必须是实体的精确的再现，并坚信运用数学透视法能够做到这一点．他认为绘画也是一种科学，因为它揭示了自然界的真实性．在达·芬奇的倡导下，学习和应用透视法成为欧洲画家们的自觉行动．中国清代宫廷画师年希尧（？~1738）从青年时代起就对数学和制图技术有兴趣．他在北京时认识了一名意大利画家郎世宁（GiuseppeCastiglione，1688~1766）．年希尧向他学习了透视知识，并且从他那里得到一本讲透视的书，爱不释手．深入钻研的结果，他不仅洞悉原著，还提出了一些自己的创见．于是他以原

6、著为基础，加入自己的见解，并补充了大量的图形，写成了《视学》一书，于1729年出版．《视学》出版之后，年希尧觉得“终不免于肤浅”，于是继续研究．一边和郎世宁“往复再四，究其源流”，一边从中国古籍中寻找相关资料．经“苦思力索，补缕五十余图，并附图说”，于1735年出了修订版．《视学》一书最精彩的部分是图形．图形分为两大类：直观图（立体图）和平面图．直观图从画法原理上看又分轴测图和透视图，平面图分二视图和三视图，其原理和现代工程制图完全一致．年希尧对于透视原理论述清楚，对于投影关系也处理得很好，他想象一个

7、物体悬在空中，各点投影用虚线连接，一看就知道平面上的某个点是物体上哪个点的投影．中国古籍中也有立体图和平面图的画法，始于东汉，现在能看到的如北宋时《武经总要》的兵器图、《新代象法要》中的天文仪器图、《营造法式》中的建筑图等，而且画得越来越好，但是总的来说还比较粗糙，缺乏透视原理的说明，因而显得不够科学．因此，年希尧的《视学》在中国是前无古人的；在世界上也堪称早期画法几何的代表作，比法国数学家蒙日（Monge，1746~1818）于1799年出版的名著《画法几何学》早70年．3用心爱心专心想1想　　阅读

8、：假设半径为的圆的面积为，我们用下面的方法推出圆的周长公式．　　如图，设是一个正数，考察半径分别为和的两个同心圆所围成的圆环（圆中阴影区域）．这个圆环的面积为．　　可以看出，，其中是以小圆周长为长，为宽的矩形面积，是以大圆周长为长，为宽的矩形面积．　　所以有，即．　　若越来越小（趋于0），那么大圆的周长趋近于小圆的周长，且趋于0，因此我们看到．　　从而．　　同学们，你们能用类似的方法证明：假设半径为的球的体积为，那么球面积等于吗？　　快快开动脑筋想一想，