高一数学 《从配方法到求导法》素材 沪教版

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1、函数最值从配方法到求导法[前言]函数最值追根到初三一位初三老师，在总结函数性质时说:“我们学过正比例函数，反比例函数，一次函数和二次函数，其中，二次函数很特殊，二次函数有最值，而其他3个函数没有最值，大家清楚吧！”“清楚！”——回声虽然响亮，但还有几个学生没有应声.一个学生问：“反比例函数也有最值吧？”另一个学生问：“一次函数为什么没有最值呢？”老师回答：“这四个函数，只有二次函数有最值，其他3个函数没有最值，至于为什么，那要到高中数学中去学习！”这位初三老师有点偷懒，其实他是完全可以讲清楚这个问题

2、的．既然他没有讲，那么我们的高中学生，包括高三的学生，还真的得从这个问题研究起．一、二次函数最值寻根初中生研究二次函数的最值，是从配方法开始的.设a>0，f(x)=ax2+bx+c=初三学生已知，二次函数f(x)，在a>0时，有最小值；a<0时，有最大值.到了高中，学生更关心二次函数得到最值的条件，即上述不等式中等号成立的条件：.这个条件——自变量x的取值，称作二次函数最值对应的“最值点”（以下简称“最点”），俗称函数“最值的根”.对于高一学生，老师把二次函数的“最值”与二次函数的“单调区间”相捆绑

3、，要求用比较法探索“最点”.【例1】已知a>0，探索二次函数y=ax2+bx+c的单调区间.并指出函数的最值点.【解答】任取x10)有减区间和增区间.显然，二次函数的最值点为，函数有最小值.【评说

4、】从这里看到，二次函数的最点，就是两个“异性”单调区间的交接点.【练1】试研究一次函数没有最点，从而没有最值.【解】任取，则有（1）时，，函数在R上为增函数.时，;时，.（2）时，，函数在R上为减函数.时，;时，.所以，一次函数在R上没有最点，从而一次函数无最值（既无最大值，也无最小值）.【说明】一次函数定义在R上，定义域内找不到这样的“点”，使得该点两边邻域是异性的两个单调区间.本例从反面看到：最点是单调区间的“变性”的“转折点”.二、从到-9-用心爱心专心高中生将“最点”变形为，并由此得到一个一

5、次函数.精明的学生发现，这个一次函数与对应的二次函数有某种“关系”，甚至有学生在偷偷地利用这种“关系”.这种“关系”到了高三才彻底解决：函数正是函数的导函数，即.函数求“最根”的问题，正好是的导函数的“求根”问题.导函数的根，就是的驻点.很清楚，二次函数的驻点就是二次函数的最点.问题变得这么明朗：求的最点，就是求的根.俗说中“最根”，真的与“根”字巧合了.【例2】设，在同一坐标系中，分别作得和的图象（如右）.试说明的正负性与单调性的对应关系.【解析】与相交于.（1）时，,递减；（2）时，,递增；（3

6、）时，,得到最小值.故对应关系为：（1）负区与的减区对应；（2）正区与的增区对应；（3）零点与的最值对应.【练2】已知二次函数的导函数图象如右图的直线，则有（1）=（），增区间为（），减区间为（）；（2）的最（）值为（）；-9-用心爱心专心（3）若，求的解析式.【解答】从右图上看到（1）的根为，故有=1；（2）时，>0，故的增区间为；时，<0，故的减区间为；（3）有最大值，最大值为.（4）令，图上知；令，得.故有.【说明】注意与并非一一对应，每一个这样的都对应着一个确定的，反过来，每一个这样的却对应

7、着无穷个，它们只是相差一个常数c.这就是本题中，为什么已经知道了的图象后，还要给出时才能确定的解析式.三、三次函数的驻点、极点和最点一次函数没有驻点，自然没有最点.二次函数有一个驻点，这个驻点就是二次函数的最点.三次函数呢？三次函数的导函数是二次函数，这个二次函数根的情况有3种：（1）有2个相异的根，（2）有2个相同的根；（3）无根.如果三次函数的导函数无根，则无驻点，自然也无最点，也无最值.如果有根呢？自然一定有驻点.那么，这些驻点是否为其最点呢？【例3】研究函数的驻点、极点和最点.【解析】令，得

8、，为的2个驻点.（1）时，>0，函数递增；-9-用心爱心专心（2）时，<0，函数递减；（3）时，>0，函数递增.故在有极大值，在上有极小值.故，是的2个极点，前者为极大点，后者为极小点.又时，，故函数既无最大值，也无最小值.从而无最点.【说明】这是三次函数有2个驻点，且都为极点的例子.而三次函数无驻点或有驻点但不是极点的例子如下（练3）.【练3】研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间.（1）（2）【解析】（1）,函数无驻点，无极点，无最点.是上的增函数.（2）,